Две частицы

Обе частицы, рассматриваемые в задаче, движутся с постоянными ускорениями, равными ускорению свободного падения \(\vec g\). Проекции их скоростей на горизонтальную \(x\) и вертикальную \(y\) оси следующие: \[\begin{aligned} v_{1x} &= v_0\cos\alpha, & v_{1y} &= v_0\sin\alpha - g\tau,\\ v_{2x} &= v_0\cos2\alpha, & v_{2y} &= v_0\sin2\alpha - g\tau. \end{aligned} \tag{75}\] Индекс 1 относится к частице, начальная скорость которой направлена под углом \(\alpha\) к горизонту, а индекс 2 — к другой частице. Так как скорости в момент времени \(\tau\) оказались сонаправленными, получаем \[\frac{v_{1y}}{v_{1x}} = \frac{v_{2y}}{v_{2x}},\] или, после подстановки соотношений (75), \[\operatorname{tg}\alpha - \frac{g\tau}{v_0\cos\alpha} = \operatorname{tg}2\alpha - \frac{g\tau}{v_0\cos2\alpha}.\] Из этого уравнения после тригонометрических преобразований получим ответ: \[\tau = \frac{v_0}{g}\frac{\operatorname{tg}2\alpha - \operatorname{tg}\alpha}{\left(\dfrac{1}{\cos2\alpha} - \dfrac{1}{\cos\alpha}\right)},\] \[\operatorname{tg}2\alpha - \operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin2\alpha}{\cos2\alpha} - \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\sin\alpha}{\cos2\alpha\cos\alpha},\] \[\frac{1}{\cos2\alpha} - \frac{1}{\cos\alpha} = \frac{2\cos(\alpha/2)\cos(3\alpha/2)}{\cos2\alpha\cos\alpha},\] \[\tau = \frac{v_0\cos(\alpha/2)}{g\sin(3\alpha/2)}. \tag{76}\] Задачу можно решить и другим способом, не требующим тригонометрических преобразований. Для этого нужно рассмотреть движение одной частицы относительно другой. Из закона сложения ускорений (аналогично закону сложения скоростей) следует, что частицы движутся друг относительно друга с постоянной скоростью. Скорость \(\vec v_{12}\) первой частицы относительно второй составляет \[\vec v_{12} = \vec v_1 - \vec v_2 = \vec v_{10} - \vec v_{20}, \tag{77}\] где индексом \(0\) отмечены начальные значения скоростей. В момент времени \(\tau\) скорости \(\vec v_1\), \(\vec v_2\) и \(\vec v_{12}\) сонаправлены. Имея это в виду, изобразим (см. рисунок) треугольник скоростей \(ABC\), соответствующий формуле (77), а также треугольник \(ABD\), отражающий равенство \(\vec v_1 = \vec v_{10} + \vec g\tau\).

Так как \(AB = BC = v_0\), имеем \(\angle BAC = 90{}^\circ - \dfrac\alpha2\), а \(\angle ADB = \dfrac{3\alpha}{2}\). Применяем к \(\triangle ABD\) теорему синусов: \[\frac{v_0}{\sin\left(\dfrac{3\alpha}{2}\right)} = \frac{g\tau}{\cos\left(\dfrac\alpha2\right)}.\] Отсюда сразу следует ответ (76). Таким образом, переход в другую систему отсчёта позволил использовать геометрию вместо проведения тригонометрических преобразований.