Дрейф

На движущуюся заряженную частицу вблизи провода с током действует сила Лоренца. Силовые линии магнитного поля тока представляют собой перпендикулярные к току окружности, центры которых лежат на проводе. Модуль индукции магнитного поля находится по формуле \[B = \frac{\mu_0I}{2\pi r}, \tag{202}\] где \(r\) — расстояние от точки поля до провода.

На рисунке показаны соответствующие первому пункту задачи направления тока, текущего в проводнике, начальная скорость частицы \(\vec v_0\), скорость \(\vec v\) в произвольный момент времени, направление индукции магнитного поля \(\vec B\), а также сила Лоренца \(\vec F\).

Поскольку векторы \(\vec v\) и \(\vec F\) лежат в одной плоскости, траектория движения лежит в плоскости \(xy\) декартовой системы координат, указанной на рисунке. Запишем уравнение движения частицы в проекции на ось \(y\). При этом учтём, что проекция силы Лоренца \(F_y = -q\dot xB\), где точка над символом обозначает производную по времени \(t\). Уравнение движения принимает вид \[m\ddot y = -q\dot xB, \qquad\text{или}\qquad m\ddot y + \frac{\mu_0qI\dot r}{2\pi r} = 0.\] Интегрируем это уравнение с учётом того, что при \(t = 0\) имеем \(\dot y = v_0\), а \(r = r_0\): \[\dot y = v_0 - \frac{\mu_0qI}{2\pi m}\ln\frac{r}{r_0}. \tag{203}\] Поскольку сила Лоренца не меняет модуль скорости, при минимальном расстоянии \(r = r_{\min}\) имеем \(\dot y = v_0\), а при максимальном расстоянии \(r = r_{\max}\) имеем \(\dot y = -v_0\) (см. рисунок). Поэтому из уравнения (203) получаем \[r_{\min} = r_0, \qquad r_{\max} = r_0\exp\left(\frac{4\pi mv_0}{\mu_0qI}\right).\] Если скорость частицы перпендикулярна проводу, то \(\dot y = 0\). В этом случае из формулы (203) находим \[r = R = r_0\exp\left(\frac{2\pi mv_0}{\mu_0qI}\right). \tag{204}\] Во втором пункте требуется найти скорость дрейфа. Какой смысл вкладывается в этот термин? Если \[\frac{r_{\max} - r_{\min}}{r_{\min}} \ll 1,\] то есть \(\alpha \ll 1\), то приближённо можно пренебречь неоднородностью магнитного поля. Поэтому в этих условиях движение частицы мало отличается от движения по окружности радиусом \[R_0 = \frac{r_{\max} - r_{\min}}{2}\] с угловой скоростью \[\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{qB}{m} = \frac qm\cdot\frac{\mu_0I}{2\pi r} = \frac{v_0}{\alpha r}.\] Величину \(R_0\) называют циклотронным радиусом, а \(\omega\) — циклотронной частотой. Центр орбиты частицы всё время находится на расстоянии \(R\), определяемом формулой (204), от провода. Неоднородность магнитного поля искажает движение по круговой орбите: циклотронный кружок как бы медленно смещается вдоль оси \(y\), дрейфует. Скорость этого дрейфа и требуется определить в задаче. Для этого нужно поделить смещение частицы вдоль оси \(y\) за период на это время: \[u_y = \frac1T\int\limits_0^T \dot y\,dt = \frac1T\int\limits_0^T v_0\cos\varphi\,dt, \tag{205}\] где \(\varphi\) — угол, который образует скорость \(\vec v\) с осью \(y\). Для нахождения зависимости этого угла от времени обратимся к уравнению (203), переписав его следующим образом: \[r = r_0\exp\bigl(\alpha(1 - \cos\varphi)\bigr).\] Продифференцируем это уравнение по времени: \[\dot r = v_0\sin\varphi = \bigl(\alpha r_0\exp(\alpha(1 - \cos\varphi))\sin\varphi\bigr)\dot\varphi.\] Подставим выраженную отсюда величину \(dt\) в формулу (205) и учтём малость \(\alpha\): \[u_y = \frac1T\int\limits_0^{2\pi} v_0\frac{\alpha r_0\exp(\alpha(1 - \cos\varphi))\sin\varphi\cos\varphi\,d\varphi}{v_0\sin\varphi} \approx\] \[\approx \frac1T\int\limits_0^{2\pi} \alpha r_0\cos\varphi\bigl(1 + \alpha(1 - \cos\varphi)\bigr)\,d\varphi = -\frac{\pi mv_0^2}{\mu_0qI}.\] Итак, скорость дрейфа составляет \[u = \frac{\pi mv_0^2}{\mu_0qI}\] и направлена вдоль тока.

На левом рисунке показана построенная с помощью системы компьютерной математики MathCAD траектория частицы в условиях данной задачи. На правом рисунке приведена полученная аналогичным образом траектория движения частицы вблизи провода при условии, что её начальная скорость не лежит в одной плоскости с током и что ток монотонно меняется со временем. Видно, что модель дрейфа циклотронных кружков даёт наглядное представление о характере движения. Эта модель широко используется в физике плазмы, и не только для наглядности, но и для получения количественных результатов.