Пластина

Вблизи поверхности смачиваемой пластины вода приподнимается, образуя вогнутый мениск (см. левый рисунок).

На пластину с обеих сторон действуют силы поверхностного натяжения \(\vec F_t\). Модуль результирующей силы \(\vec F\), приложенной к пластине, как видно из левого рисунка, составляет \[F = 2F_t\cos\theta = 2\sigma L\cos\theta.\] Об этой силе и идёт речь в первом пункте задачи.

Для ответа на вопрос второго пункта приравняем давление в воде на уровне её поверхности вдали от пластины и в точке с координатой \(x\) (левый рисунок): \[p_a = p_a - p + \rho gy. \tag{85}\] Здесь \(p_a\) — атмосферное давление, \(p\) — разность давлений на вогнутой и выпуклой сторонах искривлённой поверхности жидкости, \(\rho gy\) — давление столба воды на глубине \(y\). Дополнительное давление, создаваемое искривлённой поверхностью жидкости, составляет \[p = \sigma\left(\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}\right) = \frac\sigma R. \tag{86}\] Здесь \(R_1 = R\) — радиус кривизны сечения в плоскости рисунка для точки \(x\), а \(R_2 = \infty\), так как соответствующее ему сечение представляет собой прямую линию. Подставляя выражение (86) в формулу (85) и выражая \(R\) по формуле, приведённой в условии, получим \[\rho gy = \frac{\sigma y''}{\left(1 + (y')^2\right)^{3/2}}. \tag{87}\] Сделав преобразование \[y'' = \frac{dy'}{dx} = \frac{dy}{dx}\frac{dy'}{dy} = y'\frac{dy'}{dy} = \frac12\frac{d}{dy}(y')^2,\] приведём уравнение (87) к виду \[y\,dy = \frac{\sigma}{2\rho g}\frac{d(y')^2}{\left(1 + (y')^2\right)^{3/2}}. \tag{88}\] Проинтегрируем последнее уравнение с учётом того, что при \(y = h\) имеем \(y' = -\operatorname{ctg}\theta\). В результате интегрирования найдём \[h = \sqrt{\frac{2\sigma}{\rho g}(1 - \sin\theta)}.\] Этот же результат можно было получить, не прибегая к интегрированию. Достаточно записать условие равновесия жидкости, поднятой вблизи пластины.

На правом рисунке показаны силы, приложенные к этому элементу жидкости: \(\vec F_1\) и \(\vec F_2\) — силы поверхностного натяжения, \(m\vec g\) — сила тяжести, \(\vec F_p\) — средняя сила давления со стороны пластины. В проекциях на горизонтальное направление получим \[\sigma L - \sigma L\sin\theta = \frac{\rho gh}{2}Lh,\] откуда \[h = \sqrt{\frac{2\sigma}{\rho g}(1 - \sin\theta)}.\] В третьем пункте задачи требуется найти функцию \(y(x)\), описывающую мениск, изображённый на левом рисунке. Для этого нужно проинтегрировать уравнение (88), учтя, что при \(y = 0\) имеем \(y' = 0\). Преобразуем его: \[y' = \frac{dy}{dx} = -\sqrt{\frac{1}{\left(1 - \rho g\dfrac{y^2}{2\sigma}\right)^2} - 1},\] откуда \[-\frac{\left(1 - \dfrac{\rho gy^2}{2\sigma}\right)}{\sqrt{\dfrac{\rho gy^2}{\sigma} - \dfrac{\rho^2g^2y^4}{4\sigma^2}}}\,dy = dx.\] Для интегрирования последнего уравнения используем подстановку \[y = 2\sqrt{\frac{\sigma}{\rho g}}\sin\varphi.\] Тогда получаем \[x = -\int\sqrt{\frac{\sigma}{\rho g}}\cdot\frac{1 - 2\sin^2\varphi}{\sin\varphi}\,d\varphi = -\sqrt{\frac{\sigma}{\rho g}}\ln\left(\operatorname{tg}\frac\varphi2\right) + C.\] Возвращаемся к переменной \(y\): \[x = -\frac12\sqrt{\frac{\sigma}{\rho g}}\ln\left(\frac{1 - \sqrt{1 - \dfrac{\rho gy^2}{4\sigma}}}{1 + \sqrt{1 - \dfrac{\rho gy^2}{4\sigma}}}\right) - 2\sqrt{\frac{\sigma}{\rho g}}\sqrt{1 - \frac{\rho gy^2}{4\sigma}} + C, \tag{89}\] где постоянная интегрирования \(C\) находится из того, что если \(x = 0\), то \(y = h\): \[C = \frac12\sqrt{\frac{\sigma}{\rho g}}\ln\left(\frac{\sqrt2 - \sqrt{1 + \sin\theta}}{\sqrt2 + \sqrt{1 + \sin\theta}}\right) + \sqrt{\frac{2\sigma}{\rho g}}\sqrt{1 + \sin\theta}.\] Для наглядного представления функции \(y(x)\), неявно заданной громоздким выражением (89), следует построить её график. Это можно сделать, прибегнув к помощи компьютера. Системы компьютерной математики прекрасно справляются с подобными задачами. Одной из самых простых для начинающего пользователя и достаточно мощной системой является MathCAD. С её помощью и получен рисунок ниже, где изображён график искомой функции, отражающий форму мениска. Поскольку интерес представляет лишь характер поведения функции, конкретные численные значения параметров задавались произвольно. Варьирование угла \(\theta\) моделировалось изменением значения постоянной \(C\).