Капля в капилляре из двух трубок

При полном смачивании поверхность воды в каждой трубке "— полусфера, и давление под ней ниже атмосферного на \(4\sigma/d\). В тонкой трубке оно ниже, чем в толстой, а перепад уравновешивается весом столба воды между поверхностями.

\(\dfrac{\pi\sigma d_1(d_2-d_1)}{M g\,d_2}<\cos\alpha<\dfrac{\pi\sigma d_2(d_2-d_1)}{M g\,d_1}\), где \(\alpha\) "— угол между осью и вертикалью (тонкий конец выше).

Что происходит. При полном смачивании контакт воды со стеклом идёт под углом \(0^\circ\), и поверхность воды в трубке "— полусфера с радиусом трубки. Вогнутая поверхность понижает давление в воде: чем тоньше трубка, тем сильнее. Поэтому в горизонтальном капилляре вода течёт в тонкую часть. В наклонном капилляре тонкий конец поднят, вода стремится вниз, и равновесие наступает, когда перепад давлений от кривизны поверхностей уравновешен гидростатическим давлением столба длиной \(L\cos\alpha\).

Обозначения. Ось направлена от толстой части к тонкой; \(\alpha\) "— угол между осью и вертикалью; \(S_1=\pi d_1^2/4\), \(S_2=\pi d_2^2/4\) "— сечения; \(l_1\), \(l_2\) "— длины водяного столба в тонкой и толстой частях; \(L=l_1+l_2\) "— расстояние между поверхностями воды вдоль оси (переход между трубками короток, диаметры малы по сравнению с \(L\), искривлением поверхностей по длине пренебрегаем); \(p_0\) "— атмосферное давление.

1. Давление под поверхностями (формула Лапласа для сферической поверхности радиуса \(r=d/2\), угол смачивания \(0^\circ\), поэтому радиус кривизны равен радиусу трубки): в воде у поверхности в тонкой трубке \(p_1=p_0-\dfrac{2\sigma}{d_1/2}=p_0-\dfrac{4\sigma}{d_1}\), в толстой \(p_2=p_0-\dfrac{4\sigma}{d_2}\). Так как \(d_1<d_2\), давление \(p_1<p_2\).

2. Равновесие воды как неподвижной жидкости. В покоящейся жидкости давление растёт с глубиной на \(\rho g\,\Delta h\). Поверхность в тонкой трубке выше поверхности в толстой на \(\Delta h=L\cos\alpha\), значит \(p_2-p_1=\rho g L\cos\alpha\). Подставим давления: \[4\sigma\Bigl(\frac1{d_1}-\frac1{d_2}\Bigr)=\rho g L\cos\alpha \quad\Rightarrow\quad \cos\alpha=\frac{4\sigma(d_2-d_1)}{\rho g\,d_1d_2\,L}.\] Левая часть положительна, поэтому \(\cos\alpha>0\): тонкий конец должен быть выше толстого (иначе равновесия нет).

3. Что задаёт \(L\). Объём воды постоянен: \(\dfrac{M}{\rho}=S_1l_1+S_2l_2\). Если вода только в толстой трубке, \(L=\dfrac{M}{\rho S_2}\); если только в тонкой, \(L=\dfrac{M}{\rho S_1}\). Вода частью в тонкой и частью в толстой трубке при \(l_1>0\) и \(l_2>0\): \[\frac{M}{\rho S_2}<L<\frac{M}{\rho S_1}.\]

4. Границы угла. Подставим \(L=\dfrac{M}{\rho S}\) и \(S=\dfrac{\pi d^2}{4}\) в формулу п. 2: \[\cos\alpha=\frac{4\sigma(d_2-d_1)}{d_1d_2}\cdot\frac{S}{Mg} =\frac{\pi\sigma(d_2-d_1)\,d^2}{Mg\,d_1d_2}.\] При \(d=d_1\) получаем нижнюю границу, при \(d=d_2\) "— верхнюю: \[\frac{\pi\sigma d_1(d_2-d_1)}{M g\,d_2}<\cos\alpha<\frac{\pi\sigma d_2(d_2-d_1)}{M g\,d_1}.\]

Пункт «что за пределами». При \(\cos\alpha\) меньше нижней границы (капилляр ближе к горизонтальному) вода собирается в тонкой части и держится у перехода; при \(\cos\alpha\) больше верхней границы капля помещается в толстой части, одной кривизны на обоих концах уже не хватает для равновесия, и вода вытекает.

Обратите внимание. В одной трубке постоянного диаметра капля с полусферическими поверхностями на обоих концах удержаться вертикально не может: давления на концах одинаковы, а вес нет. Поэтому в условии вертикальный капилляр «теряет» воду, и это даёт верхнюю границу меньше единицы: \(\dfrac{\pi\sigma d_2(d_2-d_1)}{Mg\,d_1}<1\).

Проверка. Размерность: \(\sigma d/(Mg)=(\text{Н/м})\cdot\text{м}/\text{Н}\) безразмерна. Предельные случаи: при \(d_2\to d_1\) (трубки одинаковые) обе границы стремятся к нулю, \(\alpha\to90^\circ\) "— перепада давлений нет, капля может быть где угодно при горизонтальном положении; при \(M\to\infty\) интервал сжимается к \(\alpha\to90^\circ\): очень большая капля частью в обеих трубках только у почти горизонтальной оси, как и должно быть.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.