Ток по проводящей сфере

Тонкая оболочка проводит ток как плоскость, а в двух измерениях картина тока сохраняется при инверсии. Спроецируйте сферу из точки А на плоскость: ток станет радиальным вокруг образа точки Б, и доля тока будет равна доле полного угла.

1) параллельно хорде АБ, от А к Б;  2) \(\dfrac{\varphi}{2\pi}I_0\), где \(\operatorname{tg}\varphi=\dfrac{2\sqrt6}{5}\), то есть \(\approx0{,}12\,I_0\).

Что происходит. Оболочка тонкая, поэтому ток течёт по поверхности: плотность поверхностного тока \(\vec K=g_s\vec E\), а потенциал удовлетворяет двумерному уравнению Лапласа на сфере везде, кроме точки А (источник тока \(I_0\)) и точки Б (сток). Для двумерного уравнения Лапласа есть сильный приём: конформное отображение (стереографическая проекция из точки А на плоскость) переводит решения в решения, а ток через любую линию остаётся прежним. После проекции из А источник уходит в бесконечность, остаётся сток в точке Б\('\), и ток течёт к ней радиально, равномерно по углу. Тогда ток через любую дугу равен \(I_0\,\varphi/2\pi\), где \(\varphi\) "— угол, под которым дуга видна из Б\('\).

Обозначения. Единицы выбираем так, чтобы \(R=1\); начало в центре \(O\), оси так, что А \(=(1,0,0)\), Б \(=(0,1,0)\), тогда В \(=(0,0,1)\) (две симметричные точки В и «противоположная» ей дадут одинаковый результат). \(P\) и \(Q\) "— отметки.

Пункт 1. Направление тока в точке В. Плоскость, проходящая через \(O\), В и середину хорды АБ, "— плоскость зеркальной симметрии сферы с проводами: отражение меняет местами А и Б. Но если поменять местами источник и сток, ток обратится. Значит, картина тока после отражения совпадает с исходной с обратным знаком. Точка В лежит в этой плоскости. Составляющая вектора \(\vec K\) в плоскости симметрии при отражении не меняется, а перпендикулярная меняет знак, поэтому в точке В остаётся только составляющая, перпендикулярная плоскости. Она лежит в касательной плоскости к сфере в В и перпендикулярна биссектрисе угла АОБ, то есть параллельна хорде АБ. Направление "— от А к Б (ток от источника к стоку): вдоль вектора \((-1,1,0)\).

Пункт 2. Как проецировать. Линии тока в плоскости после проекции из А "— лучи, исходящие из Б\('\). Окружность на сфере, проходящая через А, при проекции из А становится прямой, параллельной касательной к окружности в А. Поэтому линии тока на сфере "— окружности, проходящие через А и Б, и угол \(\varphi\) между двумя лучами в Б\('\) равен углу между касательными в точке А к окружностям, проведённым через \(P\) и через \(Q\).

3. Положение отметок. Расстояние между ними равно \(R\): хорда \(PQ=1\), угол при центре \(60^\circ\). Отрезок \(PQ\) перпендикулярен току (направлению \((-1,1,0)\)), поэтому лежит вдоль \((1,1,0)\). Будем считать, что отметки симметричны относительно В: \[P=(s,s,c),\quad Q=(-s,-s,c),\quad s=\frac{\sin30^\circ}{\sqrt2}=\frac1{2\sqrt2},\quad c=\cos30^\circ=\frac{\sqrt3}{2}.\]

4. Окружности через А, Б и отметку. Окружность лежит в плоскости, проходящей через точки А, Б и данную отметку. Нормаль к плоскости через А, Б и \(P\): \[\vec n_P=(\vec{\text{Б}}-\vec{\text{А}})\times(\vec P-\vec{\text{А}})=(-1,1,0)\times(s-1,\,s,\,c)=(c,\;c,\;1-2s),\] для \(Q\) аналогично \(\vec n_Q=(c,\,c,\,1+2s)\).

5. Касательные в А. Касательный вектор к окружности в А перпендикулярен и нормали, и радиусу \(\overrightarrow{OA}=(1,0,0)\): \(\vec t=\vec n\times\overrightarrow{OA}=(0,\,n_z,\,-n_y)\). Отсюда \(\vec t_P=(0,\,1-2s,\,-c)\), \(\vec t_Q=(0,\,1+2s,\,-c)\). Углы этих векторов с осью \(y\): \(\operatorname{tg}\varphi_P=\dfrac{c}{1-2s}\), \(\operatorname{tg}\varphi_Q=\dfrac{c}{1+2s}\).

6. Угол между ними. \[\operatorname{tg}\varphi=\frac{\operatorname{tg}\varphi_P-\operatorname{tg}\varphi_Q}{1+\operatorname{tg}\varphi_P\operatorname{tg}\varphi_Q}=\frac{4sc}{1-4s^2+c^2}=\frac{\sqrt6/2}{5/4}=\frac{2\sqrt6}{5}\approx0{,}98,\qquad \varphi\approx44{,}4^\circ=0{,}775\text{ рад}.\]

7. Доля тока. Ток между отметками равен \(I_0\,\dfrac{\varphi}{2\pi}\): \[I_{PQ}=\frac{0{,}775}{2\pi}\,I_0\approx0{,}12\,I_0.\]

Обратите внимание. Нельзя найти ток как \(K_{\text{В}}\cdot R\): плотность тока вдоль дуги \(PQ\) меняется, а длина дуги \(\pi R/3\) не равна хорде.

Проверка. Угол безразмерен, ток "— доля \(I_0\). Предельный случай: если отметки сближаются (\(P\to Q\)), \(\varphi\to0\) и ток через дугу стремится к нулю. Второе: половина большой окружности (дуга \(180^\circ\) от точки \((-1,-1,0)/\sqrt2\) через В до \((1,1,0)/\sqrt2\)) несёт ровно \(I_0/2\) "— верхняя и нижняя половинки сферы симметричны. На дугу \(60^\circ\) по равномерному распределению пришлось бы \(\frac{60}{180}\cdot\frac{I_0}{2}\approx0{,}17\,I_0\); мы получили меньше (\(0{,}12\,I_0\)), потому что ток собирается к экватору, ближе к проводам, а точка В от проводов дальше всего.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.