Два конденсатора и батарея

В конце процесса через конденсаторы ток не идёт, один из них полностью разряжен резистором, другой заряжен до ЭДС. Сумма зарядов на конденсаторах всё время почти постоянна, потому что \(r\ll R\), значит, токи в ветвях связаны.

\(\dfrac{Q_r}{Q}=\dfrac{r}{4R+r}\approx\dfrac{r}{4R}\approx2{,}5\cdot10^{-4}\).

Что происходит. До подключения резистора на каждом конденсаторе ЭДС \(\mathcal{E}/2\). После подключения конденсатор \(C_1\), на котором резистор \(R\), разряжается, а батарея подзаряжает \(C_2\), пока не зарядит его до \(\mathcal{E}\): постоянный ток через \(C_2\) идти не может. Так как \(r\ll R\), напряжение на внутреннем сопротивлении ничтожно, и сумма зарядов на конденсаторах остаётся почти постоянной. Отсюда связь токов, а затем и связь мощностей.

Обозначения. \(C\) "— ёмкость каждого конденсатора, \(C_1\) "— тот, на котором стоит \(R\), \(C_2\) "— другой; \(q_1\), \(q_2\) "— заряды на их верхних (положительных) обкладках; \(I\) "— ток через батарею и \(C_2\), \(I_R\) "— ток через резистор \(R\).

1. Сумма зарядов. Второй закон Кирхгофа для контура «батарея "— \(r\) "— \(C_2\) "— \(C_1\)»: \(\mathcal{E}=Ir+\dfrac{q_1+q_2}{C}\). В начале \(q_1=q_2=C\mathcal{E}/2\), ток \(I=I_R/2=\mathcal{E}/(4R)\) (см. п. 2), поэтому \(Ir\le\mathcal{E}\,r/(4R)=2{,}5\cdot10^{-4}\,\mathcal{E}\) "— ничтожная часть \(\mathcal{E}\). С такой точностью \(q_1+q_2=C\mathcal{E}\) и \(\dfrac{dq_1}{dt}=-\dfrac{dq_2}{dt}\).

2. Токи в ветвях. Заряд \(C_2\) растёт током батареи: \(\dfrac{dq_2}{dt}=I\). Значит, \(\dfrac{dq_1}{dt}=-I\): конденсатор \(C_1\) разряжается током \(I\) в сторону узла. Первое правило Кирхгофа для узла над \(C_1\) и \(R\): в резистор приходит ток батареи \(I\) и ток разряда \(C_1\) тоже \(I\), поэтому \(I_R=2I\) (ток через \(R\) вдвое больше тока батареи).

3. Мощности. В любой момент на внутреннем сопротивлении выделяется \(P_r=I^2r\), на резисторе \(P_R=I_R^2R=4I^2R\). Их отношение в каждый момент \(P_r/P_R=r/(4R)\), значит, такое же отношение и теплот за весь процесс: \[\frac{Q_r}{Q_R}=\frac{r}{4R},\qquad \frac{Q_r}{Q_r+Q_R}=\frac{r}{4R+r}.\]

4. Число. \[\frac{Q_r}{Q}=\frac{1}{4\cdot1000+1}\approx2{,}5\cdot10^{-4}.\] На внутреннем сопротивлении выделяется \(0{,}025\,\%\) тепла.

Обратите внимание. Ток в резисторе не равен току батареи: он вдвое больше, потому что на резистор отдаёт заряд ещё и \(C_1\). Если считать \(I_R=I\), получилось бы \(r/R\) вместо \(r/(4R)\).

Проверка. Доля безразмерна. Тепло \(Q\) найдём двумя способами. Энергия: батарея проводит заряд \(\Delta q=C\mathcal{E}-C\mathcal{E}/2\) и совершает работу \(\mathcal{E}\Delta q=C\mathcal{E}^2/2\); энергия конденсаторов выросла с \(C\mathcal{E}^2/4\) до \(C\mathcal{E}^2/2\), то есть на \(C\mathcal{E}^2/4\); остаток \(Q=C\mathcal{E}^2/4\). Токи: \(I_R=q_1/(RC)\) и \(\dot q_1=-I_R/2\), откуда \(q_1=\dfrac{C\mathcal{E}}{2}e^{-t/(2RC)}\) (график выше), и \(Q_R=\int_0^\infty\dfrac{q_1^2}{RC^2}\,dt=\dfrac{1}{RC^2}\Bigl(\dfrac{C\mathcal{E}}{2}\Bigr)^2\!\cdot RC=\dfrac{C\mathcal{E}^2}{4}\) "— то же. Точное численное решение системы уравнений цепи даёт \(Q_r/Q=2{,}4988\cdot10^{-4}\), отличие от \(r/(4R+r)\) порядка \(10^{-3}\) от самой доли.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.