Тяга в вертикальной трубе

Нагреватель греет проходящий воздух при постоянном давлении, и вся его мощность уходит на нагревание протекающего потока. Лёгкий горячий столб создаёт разность давлений между нижним и верхним концами трубы, и именно она ускоряет воздух.

\(v=\sqrt[3]{\dfrac{4gHN}{7pS}}\approx1{,}0\) м/с (воздух в трубе нагрет примерно на \(17\) К).

Что происходит. Воздух снаружи покоится, а воздух в трубе, прошедший через нагреватель, легче окружающего. Столб лёгкого воздуха высотой \(H\) давит на нижнее сечение меньше, чем столб наружного воздуха, и избыток давления снаружи гонит воздух вверх — возникает тяга. Скорость установится, когда этой разности давлений хватает как раз на то, чтобы разгонять воздух, а вся мощность нагревателя уходит на нагревание проходящего через него потока. Главная идея — записать два уравнения для двух неизвестных: скорость потока \(v\) и нагрев воздуха \(\Delta T\).

Обозначения. \(T_0\), \(\rho_0\) — температура и плотность воздуха снаружи (воздух покоится), \(T=T_0+\Delta T\) и \(\rho\) — температура и плотность воздуха над нагревателем, \(v\) — его скорость, \(v_0\) — скорость холодного воздуха под нагревателем. Сечения: 1 — под нагревателем, 2 — сразу над ним, 3 — верхний срез трубы. Давление \(p\) — атмосферное на уровне нижнего конца. Нагревание происходит в тонком слое у нижнего конца, выше воздух движется с одной скоростью. Трение о стенки не учитываем.

1. Нагрев. Труба открыта, поэтому воздух греется при постоянном давлении, молярная теплоёмкость при этом \(C_p=C_V+R=3{,}5R\). Через сечение \(S\) за время \(dt\) проходит \(dn=\dfrac{pSv}{RT}\,dt\) молей горячего воздуха. Закон сохранения энергии для воздуха, прошедшего через нагреватель: подведённое тепло \(N\,dt\) равно \(dn\,C_p\,\Delta T\). Изменение кинетической и потенциальной энергии потока — сотые доли ватта против ста, их отбрасываем. Получаем \[N=\frac{pSv}{RT}\cdot3{,}5R\,\Delta T=3{,}5\,pSv\,\frac{\Delta T}{T}. \tag{1}\]

2. Тяга. Выше нагревателя воздух движется с постоянной скоростью \(v\), значит, давление в нём меняется только по гидростатике: \(p_2-p_3=\rho gH\). На срезе трубы струя выходит в атмосферу, и её давление равно наружному на высоте \(H\): \(p_3=p-\rho_0gH\). Обратите внимание: на выходе давление не \(p\), а меньше на \(\rho_0gH\) — иначе тяги не было бы вовсе. Под нагревателем воздух разгоняется из покоя снаружи; здесь движение установившееся и без подвода тепла, поэтому уравнение Бернулли верно: \(p_1=p-\rho_0v_0^2/2\). Через нагреватель закон Бернулли применять нельзя — там подводится энергия; для тонкого слоя с нагревателем запишем закон изменения импульса за время \(dt\): сила давления на слой \((p_1-p_2)S\), импульс воздуха меняется от \(\rho_0 v_0\cdot v_0\) до \(\rho v\cdot v\) на единицу площади в секунду, то есть \(p_1+\rho_0v_0^2=p_2+\rho v^2\). Масса воздуха, проходящего за секунду, постоянна: \(\rho_0v_0=\rho v\). Складываем всё: \[(\rho_0-\rho)\,gH=\rho v^2-\tfrac12\rho_0v_0^2=\rho v^2\Bigl(1-\frac{\rho}{2\rho_0}\Bigr).\] Давление при нагревании практически не меняется (перепады давлений — единицы паскалей при \(10^{5}\) Па), поэтому \(\rho/\rho_0=T_0/T\) и \((\rho_0-\rho)/\rho=\Delta T/T_0\). Тогда \[gH\,\frac{\Delta T}{T_0}=v^2\Bigl(1-\frac{T_0}{2T}\Bigr)\approx\frac{v^2}{2}. \tag{2}\] Приближение \(T\approx T_0\) допустимо: нагрев окажется порядка \(5\,\%\) от абсолютной температуры.

3. Скорость. Из (2): \(\dfrac{\Delta T}{T}\approx\dfrac{v^2}{2gH}\). Подставим в (1): \[N=3{,}5\,pSv\cdot\frac{v^2}{2gH}\quad\Rightarrow\quad v=\sqrt[3]{\frac{2gHN}{3{,}5\,pS}}=\sqrt[3]{\frac{4gHN}{7pS}} .\] Подставим числа, \(p=1{,}01\cdot10^{5}\) Па: \[v=\sqrt[3]{\frac{4\cdot9{,}8\cdot1\cdot100}{7\cdot1{,}01\cdot10^{5}\cdot5\cdot10^{-3}}}\ \text{м/с}=\sqrt[3]{1{,}1}\ \text{м/с}\approx1{,}0\ \text{м/с}.\] Температура воздуха при этом: \(\Delta T/T=v^2/(2gH)\approx0{,}055\), при \(T_0\approx293\) К это \(\Delta T\approx16\)–\(17\) К — нагрев действительно мал. Температура \(T_0\) в ответ не входит, она нужна только для проверки малости нагрева.

Ответ: \(v=\sqrt[3]{\dfrac{4gHN}{7pS}}\approx1{,}0\) м/с.

Проверка. Размерность: \(gHN/(pS)\) — это \(\dfrac{\text{м}}{\text{с}^2}\cdot\text{м}\cdot\dfrac{\text{Вт}}{\text{Па}\cdot\text{м}^2}=\dfrac{\text{м}^2}{\text{с}^2}\cdot\dfrac{\text{м}}{\text{с}}\), под корнем получаются \(\text{м}^3/\text{с}^3\), верно. Второй способ: система (1), (2) без допущения \(T\approx T_0\) (с точными \(T\) и \(\rho\), численно, при \(T_0=293\) К) даёт \(v=1{,}03\) м/с и \(\Delta T=17\) К — ответ изменился меньше чем на \(2\,\%\). Смысл: \(v\propto N^{1/3}\), утроение мощности даёт лишь рост скорости в \(3^{1/3}\approx1{,}4\) раза (рисунок выше): чем сильнее нагрев, тем больше тяга, но тем больше тепла нужно и на каждую новую порцию воздуха.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.