Вакуумная пушка

В последние годы большой интерес у энтузиастов, занимающихся научно-техническим творчеством, вызывает устройство под названием «вакуумная пушка». В полипропиленовой водопроводной трубе 2 (см. рисунок ниже), один конец которой герметично закрыт заглушкой из фольги 3, а другой открыт в атмосферу, разностью давлений ускоряется шарик 1 для игры в пинг-понг. Внутренний диаметр трубы близок к диаметру шарика. Рядом с заглушкой располагается штуцер 4, через который труба соединяется с вакуумным насосом. Таким образом, справа от шарика давление очень низкое, а у открытого конца трубки — давление, близкое к атмосферному, которое равно \(P_0\).

Оказывается, что при достаточно большой длине трубки и качественной откачке, шарик можно разогнать до высокой скорости, так что он легко разорвёт фольгу заглушки и вылетит из трубки. В одном видеоролике, доступном в сети, демонстрируется, как вылетающий из трубки шарик пробивает пустые банки из-под газировки, поставленные на небольшом расстоянии от трубки.

1. В самой грубой модели предполагается, что слева от шарика давление равно \(P_0 = 10^5\) Па, а справа — равно нулю. Разность давлений не меняется в процессе разгона шарика. Трения между шариком и стенками трубы нет. До какой максимальной скорости \(v_{\max}^{(1)}\) может быть разогнан шарик массой \(M = 2{,}7\) г и диаметром \(d = 40\) мм в трубе длиной \(L = 2\) м? (1 балл)

В более точной модели считается, что под действием постоянной разности давлений ускоряется не только шарик, но и воздух массой \(m(t)\), располагающийся в момент \(t\) в трубе слева от шарика, а также вовлекаются в движение новые порции воздуха из атмосферы. Предлагается считать, что область вблизи левого торца трубы, в которой воздух вовлекается в движение, имеет малый характерный размер, сопоставимый с диаметром трубы. Снаружи трубы вне этой области воздух остаётся неподвижным. Внутри трубы воздух движется со скоростью шарика, а его плотность равна плотности воздуха \(\rho\) снаружи. Диаметр шарика много меньше длины трубы. В начальный момент времени координата \(x\) шарика и его скорость равны нулю.

2. Определите более точное значение скорости \(v_{\max}^{(2)}\), до которой может быть разогнан шарик тех же размеров, что и в п. 1) задачи, в трубе той же длины. Время разгона в первом приближении можно считать равным времени разгона в п. 1). Температура воздуха и его молярная масса равны: \(T_0 = 293\) К, \(\mu = 29\) г/моль соответственно. (3 балла)

3. Считая известными только температуру \(T_0 = 293\) К снаружи трубы и молярную массу воздуха \(\mu = 29\) г/моль, определите максимальную скорость, до которой может быть разогнан шарик. Длина трубы предполагается достаточно большой. (3 балла)

4. Даны параметры: \(M\), \(S\), \(P_0\), \(\rho\), \(\mu\). Получите формулу зависимости координаты шарика от времени \(x(t)\). (5 баллов)

Интересно, что группа из американского университета Пёрдью, немного усложнив конструкцию, сумела разогнать шарик до сверхзвуковой скорости (\(v \approx 420\) м/с, в М \(= 1{,}23\) раза больше скорости звука), так что после вылета из трубки шарик для настольного тенниса пробил ракетку для настольного тенниса. Видео можно найти в сети по фразе: «Purdue Technology students build supersonic ping pong gun». В усовершенствованной конструкции на левом конце трубки имеется баллон со сжатым воздухом и сопло Лаваля, через которое воздух поступает в «ствол пушки».