Задачи › Движение с переменной массой, реактивное движение

Мартышка тянет удава

  1. Мартышка тянет удава

    МОШ 2023/24, 10 кл.
    7/10

    Удав выпрямился, лежа на горизонтальной поверхности, расслабился и не сопротивляется совсем. Его масса \(M\) равномерно распределена по его длине \(L\). Поверхность гладкая, и по ней рядом с удавом и параллельно ему проложена тропинка (не гладкая) для прогулок. Мартышка, находясь на этой тропинке, схватила удава за кончик его хвоста и потащила этот конец удава в направлении к его голове. При этом удав целиком лежит на поверхности. Сила \(F\), с которой мартышка тянет хвост удава, горизонтальна и меняется в зависимости от времени \(t\) по закону \(F = At\), где \(A\) — это известная постоянная величина.

    1. С какой скоростью двигался кончик хвоста удава в тот момент, когда расстояние от него до головы удава впервые стало равно \(\dfrac{L}{2}\)?

    2. Через какое время хвост удава поравняется с неподвижной головой удава?

    3. Какой будет скорость всего удава в тот момент, когда его голова придёт в движение?

    Указание. Может оказаться полезной формула \[\int\limits_a^b x^n\,dx = \frac{1}{n+1}\left(b^{n+1} - a^{n+1}\right), \quad n \ne -1.\]

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Движется только та часть удава, до которой уже «дошёл» хвост, и её масса растёт. Запишите импульс этой части через смещение \(X\) кончика хвоста и приравняйте скорость его изменения силе.

    Ответ

    1) \(\dfrac{dX}{dt} = \left(\dfrac{9AL^2}{8M}\right)^{1/3}\);  2) \(t(L) = \left(\dfrac{3LM}{2A}\right)^{1/3}\);  3) \(\dfrac{dX}{dt} = \left(\dfrac{9AL^2}{2M}\right)^{1/3}\).

    Решение

    К некоторому моменту времени кончик хвоста удава переместился на расстояние \(X\). В этот момент импульс удава (той его части, которая уже пришла в движение) равен \[P = \frac{M}{L}\cdot\frac{X}{2}\cdot\frac{dX}{dt} = \frac{M}{4L}\cdot\frac{d(X^2)}{dt}.\] Скорость изменения импульса равна силе \[\frac{dP}{dt} = \frac{M}{4L}\cdot\frac{d\left[\dfrac{d(X^2)}{dt}\right]}{dt} = At.\] Интегрируем уравнение два раза по времени и получаем соотношение \[X^2\,\frac{M}{4L} = \frac{At^3}{6} + C_1 t + C_2.\] Здесь \(C_1\) — константа, связанная со скоростью кончика хвоста в начальный момент, а \(C_2\) — это константа, зависящая от начальной координаты кончика хвоста. В начальный момент времени и скорость \(V_0\), и смещение \(X_0\) кончика хвоста удава равны нулю. Отсюда следует, что \(C_1 = 0\) и \(C_2 = 0\), поэтому справедлива формула \[X^2\,\frac{M}{4L} = \frac{At^3}{6}. \tag{1}\] Смещение \(X\) связано со временем \(t\) так: \[X(t) = \sqrt{\frac{2AL}{3M}}\cdot t^{3/2}.\] А скорость кончика хвоста так: \[\frac{dX}{dt} = \frac{3}{2}\cdot\sqrt{\frac{2AL}{3M}}\cdot t^{1/2}\] или \[\frac{dX}{dt} = \sqrt{\frac{3AL}{2M}}\cdot t^{1/2}. \tag{2}\]

    Для ответа на первый вопрос нужно найти время, когда \(X = \dfrac{L}{2}\). Подставляем это значение \(X\) в формулу (1) и получаем \[t = \left(\frac{3ML}{8A}\right)^{1/3}.\] Подставим найденное значение времени в формулу для скорости (2), имеем \[\frac{dX}{dt} = \sqrt{\frac{3AL}{2M}}\cdot\left(\frac{3ML}{8A}\right)^{1/6}\] или \[\frac{dX}{dt} = \left(\frac{9AL^2}{8M}\right)^{1/3}.\]

    Для ответа на второй вопрос нужно в формулу (1) подставить значение \(X = L\): \[t(L) = \left(\frac{3LM}{2A}\right)^{1/3}.\]

    Для ответа на третий вопрос нужно в формулу (1) подставить значение \(X = 2L\) и получить значение времени, а затем полученное значение времени подставить в формулу (2). Сначала получится соотношение \[t(2L) = \left(\frac{6LM}{A}\right)^{1/3},\] а затем ответ: \[\frac{dX}{dt} = \sqrt{\frac{3AL}{2M}}\cdot\left(\frac{6LM}{A}\right)^{1/6}\] или \[\frac{dX}{dt} = \left(\frac{9AL^2}{2M}\right)^{1/3}.\]

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх