Две одинаковые плоские диэлектрические пластины, заряженные равномерно по поверхности с плотностью \(\sigma\) и \(-\sigma\), располагаются параллельно друг другу на небольшом расстоянии \(h\) (см. рисунок). Каждая пластина имеет форму ромба с острым углом \(\alpha\) \(\left(\dfrac{\pi}{6} \leqslant \alpha \leqslant \dfrac{\pi}{3}\right)\) и длиной стороны \(a\) (\(a \gg h\)). Любая вершина верхней пластины и ближайшая к ней вершина нижней пластины лежат на общем перпендикуляре к плоскостям пластин. Найдите разность потенциалов центров пластин. Центром ромба считается точка пересечения его диагоналей. Определите разность потенциалов середин близлежащих сторон пластин (точки \(B_1\) и \(B_2\)). Чему равна разность потенциалов вершин ромбов \(A_1\) и \(A_2\)? А разность потенциалов вершин \(C_1\) и \(C_2\)?

1) \(\Delta\varphi_0 = \dfrac{\sigma h}{\varepsilon_0}\); 2) \(\Delta\varphi^{(B)} = \dfrac{\sigma h}{2\varepsilon_0}\); 3) \(\Delta\varphi^{(A)} = \dfrac{\sigma\alpha h}{2\pi\varepsilon_0}\), \(\Delta\varphi^{(C)} = \dfrac{\sigma(\pi - \alpha)h}{2\pi\varepsilon_0}\).

Разности — МОШ 2023/24, 10 кл., задача 4

Разности
МОШ 2023/24, 10 кл.
6/10
Две одинаковые плоские диэлектрические пластины, заряженные равномерно по поверхности с плотностью \(\sigma\) и \(-\sigma\), располагаются параллельно друг другу на небольшом расстоянии \(h\) (см. рисунок). Каждая пластина имеет форму ромба с острым углом \(\alpha\) \(\left(\dfrac{\pi}{6} \leqslant \alpha \leqslant \dfrac{\pi}{3}\right)\) и длиной стороны \(a\) (\(a \gg h\)). Любая вершина верхней пластины и ближайшая к ней вершина нижней пластины лежат на общем перпендикуляре к плоскостям пластин.
1. Найдите разность потенциалов центров пластин. Центром ромба считается точка пересечения его диагоналей.
2. Определите разность потенциалов середин близлежащих сторон пластин (точки \(B_1\) и \(B_2\)).
3. Чему равна разность потенциалов вершин ромбов \(A_1\) и \(A_2\)? А разность потенциалов вершин \(C_1\) и \(C_2\)?
▶Показать разборСкрыть разбор
Подсказка
Вдали от краёв поле внутри конденсатора однородно. У края поле искажается, но его нормальную составляющую можно найти из симметрии: сложите несколько одинаковых конденсаторов так, чтобы их края (или углы) совпали и составили полную картину.
Ответ
1) \(\Delta\varphi_0 = \dfrac{\sigma h}{\varepsilon_0}\); 2) \(\Delta\varphi^{(B)} = \dfrac{\sigma h}{2\varepsilon_0}\); 3) \(\Delta\varphi^{(A)} = \dfrac{\sigma\alpha h}{2\pi\varepsilon_0}\), \(\Delta\varphi^{(C)} = \dfrac{\sigma(\pi - \alpha)h}{2\pi\varepsilon_0}\).
Решение
1) Внутри конденсатора, вдали от его краёв поле можно считать однородным и равным \(E = \dfrac{\sigma}{\varepsilon_0}\). Разность потенциалов центров пластин равна \(\Delta\varphi_0 = \dfrac{\sigma h}{\varepsilon_0}\).

2) Вблизи края конденсатора электрическое поле искривляется. Вертикальная составляющая напряжённости поля вблизи края конденсатора может быть найдена на основе соображений симметрии. Обозначим \(E_B^{(\perp)}\) составляющую напряжённости электрического поля вблизи точки \(B\), перпендикулярную пластинам конденсатора. Совместим два одинаковых конденсатора, так чтобы совпадали их края (см. рисунок, вид сверху).

Напряжённость поля вблизи точки \(B_1\) внутри составного конденсатора будет равна \(\dfrac{\sigma}{\varepsilon_0}\). С другой стороны, эта напряжённость равна \(2E_B^{(\perp)}\), поэтому \(E_B^{(\perp)} = \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}\), а искомая разность потенциалов равна \(\Delta\varphi^{(B)} = \dfrac{\sigma h}{2\varepsilon_0}\).

3) Рассмотрим конденсаторы, обкладки которых представляют собой ромбы с малым углом при вершине. Пусть для примера этот угол равен \(1^\circ\). Совместим острыми углами 360 таких конденсаторов. Тогда на основе соображений симметрии, рассуждая аналогично предыдущему пункту, можно найти перпендикулярную обкладкам составляющую напряжённости электрического поля внутри конденсатора вблизи угла, получится значение \(E^{(\perp)} = \dfrac{\sigma}{360\,\varepsilon_0}\). Отсюда следует, что для конденсатора с обкладками в виде ромбов с углом \(\varphi\) перпендикулярная обкладкам составляющая напряжённости электрического поля равна \[E_C^{(\perp)} = \frac{\sigma\varphi}{2\pi\varepsilon_0}, \tag{1}\] где угол \(\varphi\) измеряется в радианах. На основании формулы (3) легко находим искомые разности потенциалов: \[\Delta\varphi^{(A)} = \frac{\sigma\alpha h}{2\pi\varepsilon_0}, \qquad \Delta\varphi^{(C)} = \frac{\sigma(\pi - \alpha)h}{2\pi\varepsilon_0}.\] Если найденные значения отличаются от приведённых выше только знаком, то они всё равно считаются верными.
Вся олимпиада на сайте
в вариантСтраница задачи Ошибка в задаче?

Разности

Разности

Похожие задачи