Стержень на плоскости

Если скорости всех точек стержня равны, то проекции их ускорений на стержень тоже должны совпадать. Что это говорит о направлении ускорений? Затем воспользуйтесь теоремой о движении центра масс.

Векторы скоростей всех точек твёрдого стержня в рассматриваемый момент времени равны друг другу. Чтобы через малое время \(\Delta t\) проекции скоростей всех точек на направление стержня по-прежнему оставались одинаковыми, проекции ускорений на направление стержня тоже должны быть одинаковыми. Абсолютные значения ускорений концов стержня различны, но при этом ускорения направлены вдоль параллельных прямых, поэтому векторы ускорений могут давать одинаковую проекцию на направление стержня только в том случае, если векторы ускорений перпендикулярны стержню.

Перейдём в инерциальную систему отсчёта, в которой в данный момент времени стержень покоится. Ускорения точек стержня не изменят своего значения и направления. Через бесконечно малый промежуток времени \(\Delta t\) скорости точек стержня будут перпендикулярны стержню и скорость точки \(A\) будет вдвое больше скорости точки \(B\). Скорости остальных точек стержня будут пропорциональны расстоянию до мгновенного центра вращения. Пусть на стержне это точка \(O\), тогда ускорения точек в начале интервала времени \(\Delta t\) должны быть тоже пропорциональными расстоянию до точки \(O\) стержня. Проведём прямые через начала ускорений \(\vec a_A\) и \(\vec a_B\) и через их концы. Точка стержня, которая лежит на пересечении этих прямых, имеет нулевое ускорение (точка \(O\)). Найдём ускорение центра масс стержня. Если ускорения точек \(A\) и \(B\) направлены в одну сторону, то ускорение центра масс равно \(\dfrac{3}{2}a_0\) и совпадает с направлением векторов \(\vec a_A\) и \(\vec a_B\). Если ускорения точек \(A\) и \(B\) направлены в разные стороны, то ускорение центра масс равно \(\dfrac{1}{2}a_0\) и совпадает с направлением вектора \(\vec a_A\). Результирующую силу, действующую на стержень, найдём, воспользовавшись теоремой о движении центра масс. В итоге получаем, что на стержень действует либо сила \(\dfrac{3}{2}\,m a_0\), либо сила \(\dfrac{1}{2}\,m a_0\). В обоих случаях вектор силы направлен в ту же сторону, что и вектор \(\vec a_A\).