Проводящий кубик

Потенциал середины \(M\) при пропускании тока через \(A\) и \(B\) выразите через \(\varphi_A\) симметрией. Для второго вопроса посмотрите, как сопротивление зависит от линейных размеров пластины при фиксированной толщине.

Примем потенциал вершины \(B\) за ноль. При пропускании тока \(I\) через вершины \(A\) и \(B\) из соображений симметрии потенциал середины \(M\) ребра \(AB\) равен \(\varphi_M = \frac{1}{2}\varphi_A = \frac{1}{2}Ir\). Тогда \[U_{AC} = \varphi_A - \varphi_C = (\varphi_A - \varphi_M) + (\varphi_M - \varphi_C) = \tfrac{1}{2}Ir + U.\] Пропустим через вершину \(B\) ток \(I\) в обратном направлении, так чтобы скомпенсировать выходящий из неё ток, и выведем его через вершину \(C\). Для этого на вершину \(C\) нужно подать потенциал \(\varphi_C = -\bigl(\tfrac{1}{2}Ir + U\bigr)\). Тогда разность потенциалов между \(A\) и \(C\) равна \(2\bigl(\tfrac{1}{2}Ir + U\bigr) = 2U + Ir\).

По принципу суперпозиции в исходной задаче ток \(I\) входит в вершину \(A\) и выходит из вершины \(C\) (из вершины \(B\) ток не входит и не выходит). По закону Ома \[R_{AC} = \frac{U_{AC}}{I} = \frac{2U}{I} + r = 36~\text{кОм}.\]

Пусть длина ребра куба равна \(a\), толщина пластины — \(d\). Сопротивление \(R \sim L/S \sim a/(ad) = 1/d\) не зависит от длины стороны квадрата при неизменной толщине пластины. Поэтому при увеличении размеров пластин и отверстий в 2 раза сопротивления \(R_{AB}\) и \(R_{AC}\) не изменятся.