«Миллиавтомобиль»

Продифференцируйте формулу тонкой линзы в ньютоновской форме \(xy = f^2\) для малых перемещений, найдите скорость и ускорение автомобиля, а затем сравните модуль ускорения с максимально возможным \(\mu g\).

Пусть расстояние от источника \(S\) до переднего фокуса линзы равно \(x\), а от его изображения до заднего фокуса — \(y\). По формуле тонкой линзы в ньютоновской форме \(xy = f^2\) для малых перемещений \(\Delta x\) и \(\Delta y\): \[x\,\Delta y + y\,\Delta x = 0 \quad\Rightarrow\quad \frac{\Delta x}{\Delta y} = \frac{v}{v_0} = -\frac{x}{y} = -\frac{xy}{y^2} = -\frac{f^2}{y^2}.\] Отсюда скорость автомобиля \(v = -v_0 f^2/y^2\). Знак «\(-\)» означает, что при удалении автомобиля от фокуса изображение приближается к фокусу. Ускорение автомобиля \[a = \frac{dv}{dt} = \frac{2v_0 f^2}{y^3}\frac{dy}{dt} = \frac{2v_0^2 f^2}{y^3} = \frac{2v_0^2 x^3}{f^4}.\] Модуль ускорения не может превышать \(a_{\max} = \mu g\), следовательно, \[\frac{2v_0^2|x|^3}{f^4} \leqslant \mu g \quad\Rightarrow\quad |x| \leqslant f\sqrt[3]{\frac{\mu g f}{2v_0^2}}.\] Расстояние \(l\) от автомобиля до линзы может меняться в пределах \[f\Bigl(1 - \sqrt[3]{\frac{\mu g f}{2v_0^2}}\Bigr) \leqslant l < f \quad\text{или}\quad f < l \leqslant f\Bigl(1 + \sqrt[3]{\frac{\mu g f}{2v_0^2}}\Bigr).\] Изображение может быть как мнимым (\(l < f\)), так и действительным (\(l > f\)). Если \(v_0 < \sqrt{\mu g f/2}\), то возможны \(0 < l < f\) или \(f < l \leqslant f\Bigl(1 + \sqrt[3]{\frac{\mu g f}{2v_0^2}}\Bigr)\).