Поворачивающаяся линза

Луч, проходящий через центр линзы, не преломляется и всегда соединяет источник и его изображение; значит, скорость изображения направлена вдоль этого луча. Выразите расстояние от центра линзы до изображения через угол поворота.

Рассмотрим момент, когда ось повернулась относительно первоначального положения на угол \(\varphi\). Поскольку луч, проходящий через центр линзы, всегда соединяет источник и его изображение, движение самого изображения направлено вдоль этого луча. Обозначим расстояние от центра линзы до изображения вдоль центрального луча через \(L\). Из рисунка \(L = b/\cos\varphi\), где \(b\) — расстояние от изображения до линзы (не до центра линзы). Расстояние от источника до линзы \(a = 2F\cos\varphi\). Подставляя \(a\) и \(b\) в формулу тонкой линзы \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{F}\), получаем \(b = \dfrac{aF}{a-F}\) и \[L = \frac{1}{\cos\varphi}\cdot\frac{aF}{a-F} = \frac{2F^2}{2F\cos\varphi - F} = F\,\frac{2}{2\cos\varphi-1}.\]

Искомая скорость — производная \(L\) по времени: \[v = \dot L = F\cdot 2\cdot\frac{(-1)\cdot(-2\sin\varphi\cdot\dot\varphi)}{(2\cos\varphi-1)^2}.\] Учитывая \(\dot\varphi = \omega\), получаем \[v = F\omega\,\frac{4\sin\varphi}{(2\cos\varphi-1)^2}.\] Осталось найти угол, при котором расстояние между источником света и оптической осью равно \(F\) (условие можно прочитать двояко; во втором варианте речь идёт о расстоянии между изображением и осью, равном \(F\)). В первом случае угол определяется немедленно: \(\sin\varphi_0 = \dfrac{F}{2F} = \dfrac12\), \(\varphi_0 = \pi/6\). Тогда \[v = F\omega\,\frac{2}{(\sqrt3-1)^2} = \frac{F\omega}{2-\sqrt3} \approx 3{,}73\,F\omega.\] Во втором случае изображение находится на расстоянии \(F\) от оси, т.е. \(\sin\varphi_0 = F/L\), где \(L = \dfrac{2F}{2\cos\varphi_0-1}\). Тогда условие принимает вид \(\sin\varphi_0 = \cos\varphi_0 - \dfrac12\); возводя его в квадрат, получаем \(\sin2\varphi_0 = \dfrac34\), т.е. \(\varphi_0 = \dfrac12\arcsin\dfrac34\).