Два шарика на нити

Нить — отрезок, соединяющий шарики, поэтому задача кинематическая. Сравните, как меняются горизонтальные и вертикальные смещения шариков с одним и тем же временем полёта.

Поскольку в условии сказано, что силами упругости нити необходимо пренебречь, задача превращается в кинематическую, а нить представляет собой отрезок, соединяющий два шарика.

Пусть первый шарик летит под углом \(\alpha = 30^\circ\), второй — под углом \(\beta = 60^\circ\). Уравнения движения: \[x_1(t) = v_0\cos\alpha\cdot t,\quad x_2(t) = v_0\cos\beta\cdot t,\] \[y_1(t) = v_0\sin\alpha\cdot t - \frac{gt^2}{2},\quad y_2(t) = v_0\sin\beta\cdot t - \frac{gt^2}{2}.\] Расстояние между шариками \(L^2 = (x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2\). Подставляя координаты и учитывая, что \(\cos\alpha = \sin\beta\), \(\sin\alpha = \cos\beta\), \[L^2 = (v_0t)^2(\cos\alpha-\cos\beta)^2 + (v_0t)^2(\sin\alpha-\sin\beta)^2 = 2(v_0t)^2(\sin\alpha-\cos\alpha)^2.\] Это выражение монотонно возрастает по \(t\), поэтому максимум достигается на границе области определения: в момент, когда шарик, выпущенный по более пологой траектории (под углом \(30^\circ\)), упадёт на Землю. Этот момент \(\tau = \dfrac{2v_0\sin\alpha}{g}\). Подставляя его в \(L^2\), \[L_{\max} = \frac{2\sqrt2\,v_0^2\sin\alpha}{g}\,|\sin\alpha-\cos\alpha| = \frac{v_0^2}{g}\cdot\frac{\sqrt3-1}{\sqrt2}.\]

Для угла \(\varphi\) между нитью и горизонтом заметим, что в процессе полёта обоих шариков вертикальная и горизонтальная составляющие нити равны друг другу. Это означает, что искомый угол равен \(45^\circ\). Когда первый шарик приземлится, второй продолжит лететь в ту же точку (дальность полёта у обоих одинакова), и нить будет представлять собой секущую параболы, по которой движется второй шарик, а угол будет возрастать. Когда второй шарик упадёт, хорда превратится в касательную, и угол между нитью и горизонтом будет равен углу, под которым второй шарик приземлится. Из симметрии параболы этот угол равен углу, под которым шарик запустили, т.е. \(60^\circ\). Итак, \(\varphi\in[45^\circ;\,60^\circ]\).