Пушка на горе

Найдём уравнение траектории снаряда в системе координат, заданной на рисунке в условии задачи. Пусть \(t\) — время, прошедшее с момента выстрела, а \(V_0\) — начальная скорость снаряда. Очевидно, что координаты снаряда в момент \(t\) есть \(x = V_0\cos\alpha\cdot t\), \(y = \dfrac{gt^2}{2} - V_0\sin\alpha\cdot t\), откуда \(y(x) = \dfrac{g}{2V_0^2\cos^2\alpha}x^2 - x\operatorname{tg}\alpha\). Точка столкновения снаряда с поверхностью горы находится из уравнения \[y = \dfrac{g}{2V_0^2\cos^2\alpha}x^2 - x\operatorname{tg}\alpha = ax^2.\] Решение \(x = 0\) соответствует месту выстрела, поэтому точка падения снаряда определяется уравнением \[\left(\dfrac{g}{2V_0^2\cos^2\alpha} - a\right)x = \operatorname{tg}\alpha.\] Это уравнение не имеет положительных решений при \(\dfrac{g}{2V_0^2\cos^2\alpha} \leqslant a\), то есть минимальное значение начальной скорости снаряда, при которой он никогда не упадёт на поверхность горы, \(V_{0\,\min} = \dfrac{1}{\cos\alpha}\sqrt{\dfrac{g}{2a}}\). При меньших значениях \(V_0\) столкновение снаряда с горой неизбежно.