Бусинки на полуокружности

Трение отсутствует, поэтому можно пользоваться законом сохранения энергии; связь скоростей бусинок дают условие постоянства длины стержня. Максимум скорости достигается в положении равновесия системы.

Рассмотрим промежуточное положение системы, когда радиусы, проведённые из центра полуокружности к бусинкам, повернулись на угол \(\varphi\) относительно своих первоначальных положений. Скорости бусинок обозначим \(V_1\) и \(V_2\). Отсчитывая высоты от центра полуокружности, запишем закон сохранения энергии: \[m_1V_1^2 + m_2V_2^2 = 2gR\bigl(m_1(\cos\varphi-1) + m_2\sin\varphi\bigr),\] или \(kV_1^2 + V_2^2 = 2gR\bigl(k(\cos\varphi-1) + \sin\varphi\bigr)\), где \(k = m_1/m_2\). Так как длина стержня не меняется, проекции скоростей бусинок на направление стержня совпадают. Из геометрии при любом \(\varphi\) скорости бусинок образуют со стержнем углы \(45^\circ\), поэтому \(V_1\cos45^\circ = V_2\cos45^\circ\), т.е. \(V_1 = V_2\).

Исключая \(V_2\), получаем \[V_1^2 = \frac{2gR}{k+1}\,f(\varphi), \qquad f(\varphi) = k\cos\varphi + \sin\varphi - k.\] Преобразуем \(f\) методом вспомогательного аргумента: \[f(\varphi) = \sqrt{k^2+1}\,\cos(\varphi-\varphi_0) - k,\] где \(\sin\varphi_0 = \dfrac{1}{\sqrt{k^2+1}}\), \(\cos\varphi_0 = \dfrac{k}{\sqrt{k^2+1}}\), т.е. \(\operatorname{tg}\varphi_0 = \dfrac{1}{k}\). Функция \(f\) максимальна при \(\varphi = \varphi_0\), и \(f(\varphi_0) = \sqrt{k^2+1} - k\). Тогда максимальная скорость первой бусинки \[V = \sqrt{\frac{2gR}{k+1}\,f(\varphi_0)} = \sqrt{\frac{2gR\left(\sqrt{k^2+1}-k\right)}{k+1}} = 0{,}89~\text{м/с}.\] Ответ можно также записать в виде \(V = \sqrt{\dfrac{2gR}{(k+1)\left(\sqrt{k^2+1}+k\right)}}\).

Угол \(\varphi_0\) определяет положение равновесия системы: приравнивая моменты сил тяжести относительно центра полуокружности, получаем \(m_1gR\sin\varphi = m_2gR\cos\varphi\), т.е. \(\operatorname{tg}\varphi = \dfrac{m_2}{m_1} = \dfrac{1}{k}\), так что \(\varphi = \varphi_0\). Поскольку бусинки совершают колебания около положения равновесия, максимальные скорости достигаются в этом положении.