Газ под поршнем при скачках давления

Для каждого из двух переходов запишите первое начало термодинамики для газа и баланс энергии поршня; работа внешнего давления равна \(P\,\Delta V\) с учётом знака.

Рассмотрим переход газа из начального состояния \(0\) в промежуточное равновесное состояние \(1\). Первое начало термодинамики (адиабатический процесс, \(Q=0\)): \[0 = \frac{3}{2}\nu R T_1 - \frac{3}{2}\nu R T_0 + A_{01},\] где \(A_{01}\) — работа газа на поршень. Баланс энергии поршня: \(0 = A_{01} + A'_{01}\), где \(A'_{01} = -P_1(V_1 - V_0)\) — работа внешнего давления (отрицательна, так как сила давления действует против движения поршня при расширении газа). Значит, \(A_{01} = P_1(V_1 - V_0)\). Используя уравнения состояния \(P_0V_0 = \nu RT_0\), \(P_1V_1 = \nu RT_1\), получаем \[0 = \frac{3}{2}P_1V_1 - \frac{3}{2}P_0V_0 + P_1(V_1 - V_0) \quad\Rightarrow\quad 5P_1V_1 = 3P_0V_0 + 2P_1V_0,\] откуда \[V_1 = V_0\frac{3P_0 + 2P_1}{5P_1} = V_0\frac{5-2\alpha}{5(1-\alpha)}.\]

Рассмотрим переход из состояния \(1\) в конечное состояние \(K\). Аналогично, \(0 = \frac{3}{2}\nu R T_K - \frac{3}{2}\nu RT_1 + A_{1K}\) и \(0 = A_{1K} + A'_{1K}\), где работа внешней силы \(A'_{1K} = P_0(V_1 - V_K)\) положительна, так как сила давления направлена по движению поршня при сжатии газа. С учётом \(P_0V_K = \nu RT_K\) получаем \[0 = \frac{3}{2}P_0V_K - \frac{3}{2}P_1V_1 - P_0(V_1 - V_K) \quad\Rightarrow\quad 5P_0V_K = 3P_1V_1 + 2P_0V_1,\] откуда \[V_K = V_1\frac{3P_1 + 2P_0}{5P_0} = V_0\,\frac{(5-2\alpha)(5-3\alpha)}{25(1-\alpha)}.\] Разность объёмов \[\Delta V = V_K - V_0 = V_0\left[\frac{(5-2\alpha)(5-3\alpha)}{25(1-\alpha)} - 1\right] = \frac{6\alpha^2V_0}{25(1-\alpha)} = 18~\text{см}^3.\]