Колебания в цепи с тремя конденсаторами

Выпишите два соотношения, справедливые в любой момент: второе правило Кирхгофа для контура с батареей и условие сохранения заряда для изолированного узла. Максимум и минимум напряжения на \(2C\) соответствуют моментам, когда ток в катушке равен нулю.

Амплитуда колебаний напряжения равна полуразности максимального и минимального значений напряжения на конденсаторе \(2C\): \(V_A = \dfrac{V_{\max}-V_{\min}}{2}\). Обозначим заряд на конденсаторе \(2C\) через \(q_1\), а заряды на двух оставшихся конденсаторах — через \(q_2\) и \(q_3\). Напряжения: \(V_1 = \dfrac{q_1}{2C}\), \(V_2 = \dfrac{q_2}{C}\), \(V_3 = \dfrac{q_3}{C}\).

Для любого момента времени после замыкания ключа справедливо: для правого контура с батареей и двумя конденсаторами \(C\) имеем \(\varepsilon = V_2 + V_3\); нижний узел \(o\) образует изолированный проводник, заряд которого равен нулю: \(-q_1 - q_2 + q_3 = 0\), т.е. \(2V_1 + V_2 = V_3\). Отсюда \[V_2 = \frac{\varepsilon}{2} - V_1,\qquad V_3 = \frac{\varepsilon}{2} + V_1.\]

Сразу после замыкания ключа ток в катушке равен нулю, и заряд и напряжение на конденсаторе \(2C\) не успевают измениться, т.е. \(V_1 = 0\). Тогда на конденсаторах \(C\) сразу устанавливаются \(V_{20} = V_{30} = \dfrac{\varepsilon}{2}\), \(q_{20} = q_{30} = \dfrac{C\varepsilon}{2}\).

Баланс энергии в цепи: \(A = \Delta W + \dfrac{LI^2}{2}\), где \(A\) — работа батареи, \(\Delta W\) — приращение энергии конденсаторов, \(I\) — ток в катушке. Через батарею прошёл заряд \(q_3 - q_{30}\), поэтому \[A = (q_3 - q_{30})\varepsilon = C\varepsilon\,(V_3 - V_{30}) = C\varepsilon V_3 - \frac{C\varepsilon^2}{2}.\] Энергия конденсаторов \(W = \dfrac{2CV_1^2}{2} + \dfrac{CV_2^2}{2} + \dfrac{CV_3^2}{2}\), а в начальный момент \(W_0 = \dfrac{C\varepsilon^2}{4}\). В моменты, когда заряд на конденсаторе \(2C\) максимален или минимален, ток в катушке обращается в нуль, и \(A = \Delta W\): \[C\varepsilon V_3 - \frac{C\varepsilon^2}{2} = \frac{C}{2}\left(2V_1^2 + V_2^2 + V_3^2\right) - \frac{C\varepsilon^2}{4}.\] Подставляя \(V_2 = \dfrac{\varepsilon}{2} - V_1\) и \(V_3 = \dfrac{\varepsilon}{2} + V_1\), после упрощения получаем \[8V_1^2 - 4\varepsilon V_1 = 0,\] откуда \(V_{\max} = \dfrac{\varepsilon}{2}\), \(V_{\min} = 0\). Амплитуда колебаний напряжения \[V_A = \frac{V_{\max}-V_{\min}}{2} = \frac{\varepsilon}{4} = 3~\text{В}.\]