Муха

Изображение движущейся по прямой мухи движется по прямой, проходящей через фокус; сравните скорость мухи со скоростью изображения как векторы.

\(u_{\min}=\dfrac{va}{\sqrt{a^2+f^2}}\).

Когда муха движется по показанной на рисунке горизонтальной прямой, пересекающей линзу в точке A, и начинает движение очень издалека, изображение мухи движется по наклонной прямой, проходящей через точку A и фокус F (потому что изображение прямой есть прямая и эти две прямые пересекаются в плоскости линзы), и начинает движение, удаляясь от точки F вначале очень медленно. Скорость изображения монотонно растёт, пока не достигает бесконечности в момент, когда муха пересекает фокальную плоскость. Поэтому, если скорость мухи изображена горизонтальным вектором \(v\) на правом рисунке, то вектор скорости изображения в различные моменты времени изображён наклонными векторами \(u\). Очевидно, что разность \(w\) этих двух векторов минимальна тогда, когда вектор \(w\) перпендикулярен вектору \(u\). Поэтому получаем \(u_{\min}=v\sin\alpha\). Из треугольника \(OAF\) имеем \(\sin\alpha=a/\sqrt{a^2+f^2}\) и \(u_{\min}=va/\sqrt{a^2+f^2}\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.