Конвейер

Скорость пластины меняется скачком в тот момент, когда сила трения о вторую ленту сравняется с силой трения о первую; найдите, какая часть пластины лежит на каждой ленте в этот момент.

\(t=\dfrac{x(v_1+v_2)-lv_1+\dfrac{l(v_1-v_2)}{1+\mu_1/\mu_2}}{v_1v_2}\).

Пока пластина целиком лежит на первой ленте, её скорость равна \(v_1\), а на второй ленте — \(v_2\). Скорость пластины меняется с \(v_1\) на \(v_2\) в тот момент, когда сила трения о вторую конвейерную ленту превысит силу трения о первую ленту. Пусть масса пластины \(M\), а линейная плотность пластины вдоль конвейера \(\rho=M/l\). В предельном случае из равенства сил трения получаем: \[\mu_1M_1g=\mu_2M_2g,\] где \(M_1\) и \(M_2\) — массы частей пластины, лежащих соответственно на первой и второй лентах. Пусть длина части на первой ленте \(l_1\), а на второй \(l_2\). Используя линейную плотность, получаем: \[\mu_1\rho l_1g=\mu_2\rho l_2g.\] Сократив общие множители, получаем систему уравнений: \[\mu_1l_1=\mu_2l_2,\qquad l_1+l_2=l.\] Отсюда выражаем \(l_1\): \[l_1=\frac{l}{1+\dfrac{\mu_1}{\mu_2}}.\]

На рисунке изображены начальное положение пластины, конечное положение и предельный случай, когда скорость меняется (за пренебрежимо малое время). От начального положения до предельного случая пластина проходит расстояние \(x-l_1\) со скоростью \(v_1\). От предельного случая до конечного положения пластина проходит расстояние \(x-l_2\) со скоростью \(v_2\). Поэтому полное время: \[t=\frac{x-l_1}{v_1}+\frac{x-l_2}{v_2}.\] Подставляя, получаем: \[t=\frac{v_2x-v_2l_1+v_1x-v_1l_2}{v_1v_2}=\frac{x(v_1+v_2)-lv_1-l_1v_2+l_1v_1}{v_1v_2}=\frac{x(v_1+v_2)-lv_1+\dfrac{l(v_1-v_2)}{1+\frac{\mu_1}{\mu_2}}}{v_1v_2}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.