Кёрлинг

Удар должен быть центральным; запишите законы сохранения импульса и энергии (с потерей доли \(\eta\)) и условие, что оставшийся камень проскользит до остановки путь \(D\).

\(v_0\approx 1{,}2\) м/с.

Сначала убедимся, что для того, чтобы изначально движущийся камень попал в центр мишени, между камнями должен произойти центральный прямой удар. Предположим от противного, что продолжение траектории движущегося камня не проходит до удара через центр масс стоящего камня, а проходит мимо него, например, справа (если смотреть по направлению движения). Поскольку сечения камней круглые и мы считаем, что центр масс камня находится в центре круга, то при ударе силы между камнями действуют вдоль прямой, соединяющей их центры масс. Разложив силу, с которой неподвижный камень действует на движущийся, на две составляющие, одна из которых направлена вдоль первоначальной траектории камня, а другая перпендикулярна ей, видим, что поперечная составляющая силы направлена вправо от направления движения. Значит, траектория движущегося камня в результате удара поворачивается ещё больше вправо и не может пройти через центр мишени. Следовательно, для выполнения условий задачи должен произойти центральный прямой удар, и далее мы можем рассматривать ситуацию как одномерную.

Чтобы попасть в центр мишени, изначально движущийся камень после удара должен продолжить движение с некоторой скоростью и затем из-за трения о лёд остановиться. Обозначим скорости: \(v_0\) и \(v\) — скорость изначально движущегося камня до и после удара, \(u\) — скорость изначально стоявшего камня после удара. Из закона сохранения импульса: \[mv_0=mv+mu, \tag{1}\] где \(m\) — масса камня, которая, как видно, сокращается. Также можем записать закон сохранения энергии \[(1-\eta)\frac{mv_0^2}{2}=\frac{mv^2}{2}+\frac{mu^2}{2}, \tag{2}\] где \(\eta=0{,}4\) — доля энергии, потерянной при ударе.

Для скорости \(v\) выполняется условие \[\frac{mv^2}{2}=\mu mgs, \tag{3}\] то есть кинетическая энергия изначально движущегося камня после удара равна работе силы трения при остановке камня. В момент удара расстояние от центра изначально движущегося камня до мишени равно диаметру камня, то есть \(s=D\) и \(v=\sqrt{2\mu gD}\).

Для нахождения скорости \(v_0\) выразим из закона сохранения импульса \(u=v_0-v\) и подставим в выражение для энергии: \[(1-\eta)v_0^2=v^2+(v_0-v)^2, \tag{4}\] откуда \[\eta v_0^2-2v_0v+2v^2=0. \tag{5}\] Решение полученного квадратного уравнения \[v_0=\frac{v\left(1\pm\sqrt{1-2\eta}\right)}{\eta} \tag{6}\] или, используя найденное ранее выражение для \(v\), получаем \[v_0=\frac{\sqrt{2\mu gD}\left(1\pm\sqrt{1-2\eta}\right)}{\eta}. \tag{7}\] В зависимости от знака в формуле решения квадратного уравнения получили бы скорости

Поскольку камни после удара не могут пройти друг сквозь друга, должно выполняться \(u>v\), и физически подходит только решение со знаком плюс, то есть скорость камня перед ударом \(v_0=1{,}2\) м/с.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.