Вращающееся электрическое поле

Для замкнутой траектории средняя скорость вдоль \(x\) равна нулю: это определяет скорость \(u\) в те промежутки, когда поле направлено по \(y\); дальше считайте смещения по участкам.

Диаметр вдоль оси \(x\) равен \(\dfrac{3E_0qT^2}{4m}\).

Для того чтобы средняя скорость частицы вдоль оси \(x\) \(v_x\) была равна нулю, в периоды времени \(4nT+T\le t<4nT+2T\) и \(4nT+3T\le t<4nT+4T\) значения \(v_x\) должны быть равны и противоположны по знаку, соответственно \(u\) и \(-u\); в промежуток \(4nT+2T\le t<4nT+3T\) электрическое поле сообщает частице импульс вдоль \(x\), равный \(-E_0qT\), поэтому \[2mu=E_0qT\quad\Rightarrow\quad u=\frac{E_0qT}{2m}.\] В течение следующей четверти периода скорость частицы вдоль \(x\) остаётся постоянной, равной \(u\), и поэтому частица за это время смещается вдоль оси \(x\) на \(x_1=uT\). В течение следующей восьмой части периода (длительностью \(T/2\)) скорость линейно по времени убывает до нуля, поэтому дополнительное смещение находится с помощью средней скорости \(\dfrac u2\): \(x_2=\dfrac u2\cdot\dfrac T2=uT/4\); в силу симметрии такое же смещение происходило и за предшествовавшую четверти периода с постоянной скоростью восьмую часть периода, то есть полное смещение (и тем самым диаметр траектории вдоль оси \(x\)) равно \[x_1+2x_2=\frac32uT=\frac{3E_0qT^2}{4m}.\] В силу симметрии диаметр вдоль оси \(y\) такой же. Траектория — фигура, состоящая из четырёх парабол: каждая следующая парабола получена из предыдущей поворотом на прямой угол (длины парабол должны быть такими, чтобы в конечных точках угол наклона был \(45^\circ\): кривые должны смыкаться без точки излома).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.