Ускорение изображения в линзе

Выразите положение изображения через положение жучка по формуле тонкой линзы и продифференцируйте по времени; минимум расстояния соответствует нулевой относительной скорости предмета и изображения.

\(|v| = 2\sqrt{af}\), \(|w| = 7a\).

Пусть \(x\) и \(y\) — расстояния от линзы до жучка и его изображения соответственно, тогда из формулы тонкой линзы \[\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{f}\] находим зависимость положения изображения от положения предмета: \[y = \dfrac{xf}{x - f}.\] Выразим производные \(y(x)\) по времени для последующих расчётов: \[\dot y = -\dfrac{\dot xf^2}{(x - f)^2}, \tag{1}\] \[\ddot y = \dfrac{f^2(2\dot x^2 - \ddot x(x - f))}{(x - f)^3}. \tag{2}\] Расстояние между предметом и изображением и скорость их удаления друг от друга имеют соответственно вид \[\ell = x + y\qquad\text{и}\qquad\dot\ell = \dot x\left(1 - \dfrac{f^2}{(x - f)^2}\right).\] Действительное изображение наблюдается при \(x > f\), причём \(\ell\) растёт и стремится к бесконечности при приближении \(x\) к любой из границ промежутка \((f; +\infty)\), значит, на этом интервале должен быть хотя бы один минимум. Из условия нулевой относительной скорости (\(\dot\ell = 0\)) находим положение единственного экстремума в нужной области: \(x = 2f\). Скорость \(u\) жучка в этой точке находим из формулы для равноускоренного движения: \(u = 2\sqrt{af}\). После подстановки \(x = 2f\), \(\dot x = 2\sqrt{af}\) и \(\ddot x = a\) в формулы (1) и (2) получаем ответ: \[|v| = 2\sqrt{af}\qquad\text{и}\qquad|w| = 7a.\] Примечание. Известно, что расстояние между предметом и изображением минимально при симметричном ходе лучей, когда предмет и изображение находятся в так называемых двойных фокусах (\(x = y = 2f\)). Из симметрии же формулы тонкой линзы относительно перестановки \(x\) и \(y\) можно было сразу понять, что скорости предмета и изображения будут одинаковы при \(x = y\). Таким образом, единственный нетривиальный вопрос задачи — про ускорение.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.