Диффузия

Примесная молекула совершает блуждание со случайными углами отклонения при столкновениях, поэтому её смещение растёт как корень из числа пробегов; оцените длину свободного пробега, считая молекулы кубиками.

1) \(\dfrac{t_1}{t_2} = \left(\dfrac{\rho_2}{\rho_1}\right)^{2/3} = 0{,}66\);  2) \(t_1 = \dfrac{V^2}{S^2}\cdot\dfrac{P}{kT}\left(\dfrac{\mu}{\rho_1N_A}\right)^{2/3}\cdot\sqrt{\dfrac{\mu}{RT}} = 125\text{ с} \sim 10^2\text{ с}\).

В ходе решения мы не будем учитывать некоторые коэффициенты порядка единицы, так как время \(t_1\) требуется лишь оценить, а при нахождении отношения \(t_1/t_2\) числовые множители всё равно сократятся. Чтобы оценить \(t_1\) и \(t_2\) оптом, заменим аргон и этан на произвольный газ, имеющий молярную массу \(\mu\) и плотность \(\rho\) в жидком состоянии при низких температурах.

Будем считать молекулы газа кубиками с ребром \(d\), которые в жидком состоянии уложены максимально плотно, тогда из формулы \(\mu = d^3\rho N_A\), где \(N_A\) — число Авогадро, находим \[d = \sqrt[3]{\dfrac{\mu}{\rho N_A}}.\] Концентрация \(n\) и длина \(\lambda\) свободного пробега молекул газа имеют вид \[n = \dfrac{P}{kT},\qquad \lambda = \dfrac{1}{nd^2} = \dfrac{kT}{P}\left(\dfrac{\rho N_A}{\mu}\right)^{2/3}, \tag{1}\] где \(k\) — постоянная Больцмана. Пусть \(x_i\) — модуль перемещения примесной молекулы после \(i\) соударений, \(\varphi\) — угол отклонения при очередном соударении, тогда по теореме косинусов можно записать рекуррентную формулу: \[x_{i+1}^2 = x_i^2 + \lambda^2 + 2x_i\lambda\cos\varphi, \tag{2}\] где предполагается, что длина свободного пробега примесных молекул тоже равна \(\lambda\). После усреднения выражения (2) по всевозможным углам \(\varphi\) получаем \[\langle x_{i+1}^2\rangle = \langle x_i^2\rangle + \lambda^2 = (i + 1)\lambda^2.\] Средняя скорость молекул газа без учёта числового коэффициента имеет вид \[v = \sqrt{\dfrac{RT}{\mu}}, \tag{3}\] где \(R\) — универсальная газовая постоянная. За некоторое время \(t\) примесная молекула пройдёт путь \(L = i\lambda = vt\) и сместится на среднее расстояние \[x = \sqrt{\langle x_i^2\rangle} = \sqrt{\lambda vt}. \tag{4}\] Искомое время \(t\) равно по порядку величины времени, которое требуется примесной молекуле для смещения от одного торца цилиндра до другого, то есть на расстояние \(x = V/S\). Таким образом, из выражений (4), (1) и (3) получаем общую формулу: \[t = \dfrac{x^2}{\lambda v} = \dfrac{V^2}{S^2}\cdot\dfrac{P}{kT}\left(\dfrac{\mu}{\rho N_A}\right)^{2/3}\cdot\sqrt{\dfrac{\mu}{RT}}.\] Аргон и этан с рассматриваемым изотопным составом молекул имеют одинаковую молярную массу \(\mu = 40\) г/моль, поэтому в искомом отношении \(t_1/t_2\) остаются только плотности: \[\dfrac{t_1}{t_2} = \left(\dfrac{\rho_2}{\rho_1}\right)^{2/3} = 0{,}66.\] Ответ на вопрос про \(t_1\) имеет вид \[t_1 = \dfrac{V^2}{S^2}\cdot\dfrac{P}{kT}\left(\dfrac{\mu}{\rho_1N_A}\right)^{2/3}\cdot\sqrt{\dfrac{\mu}{RT}} = 125\text{ с} \sim 10^2\text{ с}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.