Стробоскопический Глюк

Кадры не изменятся, если время между ними изменить на целое число минимальных периодов совпадения тела с собой; зритель выбирает наименьший из возможных поворотов между кадрами.

1) \(\dfrac{1}{\nu_0}\operatorname{mod}\dfrac{T_0}{n} > \dfrac{T_0}{2n}\);  2) \(T = \dfrac{T_0}{\nu\min\left(\dfrac{1}{\nu_0}\operatorname{mod}\dfrac{T_0}{n};\ \dfrac{T_0}{n} - \dfrac{1}{\nu_0}\operatorname{mod}\dfrac{T_0}{n}\right)}\).

Выразим время \(\tau_0\) между последовательными кадрами при съёмке: \[\tau_0 = \dfrac{1}{\nu_0}.\]

Поскольку \(n\) — максимальный порядок оси симметрии, то минимальное положительное время \(T_1\), через которое повёрнутое тело совпадёт с исходным, имеет вид \[T_1 = \dfrac{T_0}{n}.\] Если изменить \(\tau_0\) на целое число \(T_1\), то полученные кадры останутся прежними, поэтому минимальное неотрицательное время \(\tau_1\) между последовательными кадрами, при котором все кадры будут те же, определяется формулой \[\tau_1 = \tau_0\operatorname{mod}T_1,\] где \(\operatorname{mod}\) обозначает операцию вычисления остатка при делении.

Таким образом, отношение \(x = \tau_1/T_1\) — это доля, которую составляет видимый поворот тела между соседними кадрами от минимального положительного поворота, сохраняющего кадр (см. рисунок). Поворот тела на долю \(x\) в одну сторону и поворот на долю \(1 - x\) в другую сторону дают одинаковые кадры. Эффект кино заключается в том, что зритель интерпретирует последовательные изображения как плавное движение, подсознательно выбирая наименьшее из возможных изменений. Поэтому видимое направление вращения будет определяться результатом сравнения \(x\) и \(1 - x\): направление вращения на экране будет противоположно реальному при \(x > 1/2\). После подстановки исходных данных получаем ответ на первый вопрос задачи: \[\dfrac{1}{\nu_0}\operatorname{mod}\dfrac{T_0}{n} > \dfrac{T_0}{2n}.\] Доля \(y\), которую составляет видимый поворот тела между соседними кадрами от полного поворота на \(360^\circ\), имеет вид \[y = \dfrac{\min(x;\,1 - x)}{n} = \dfrac{\min(\tau_1;\,T_1 - \tau_1)}{T_0},\] откуда находим искомый период вращения на экране: \[T = \dfrac{1}{y\nu} = \dfrac{T_0}{\nu\min(\tau_1;\,T_1 - \tau_1)} = \dfrac{T_0}{\nu\min\left(\dfrac{1}{\nu_0}\operatorname{mod}\dfrac{T_0}{n};\ \dfrac{T_0}{n} - \dfrac{1}{\nu_0}\operatorname{mod}\dfrac{T_0}{n}\right)}.\] Заметим, что при \(x = 0\) возникает эффект резонанса: все кадры оказываются идентичны, что соответствует результату \(T \to +\infty\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.