Переменная плотность

Силу Архимеда считайте как вес вытесненной жидкости, усредняя линейно меняющуюся плотность в пределах каждого цилиндра; при касании дна под нижним основанием жидкости не остаётся.

1) \(\rho_0 = \dfrac{11}{6}\rho\);  2) \(F_1 = 3\rho SHg\);  3) \(F_2 = 0\).

1. Плотность тела. Пусть \(H\) — высота каждого цилиндра, тогда сила тяжести и сила Архимеда, действующие на тело, образованное цилиндрами, имеют следующий вид: \[F_{\text{тяж}} = \rho_0\cdot 2SH\cdot g + \rho_0\cdot SH\cdot g = 3\rho_0SHg,\] \[F_{\text{Арх}} = \dfrac{\rho + 2\rho}{2}\cdot 2SH\cdot g + \dfrac{2\rho + 3\rho}{2}\cdot SH\cdot g = \dfrac{11}{2}\rho SHg,\] где силу Архимеда рассчитали как вес вытесненной жидкости, то есть вместо каждого цилиндра мысленно взяли соответствующий объём жидкости с такой же зависимостью плотности от глубины и усреднили плотность в пределах каждого из цилиндров, пользуясь тем, что эта зависимость линейная, а горизонтальное сечение каждого цилиндра не зависит от глубины (слагаемое \(2\rho\) в формуле — это плотность жидкости на уровне стыка цилиндров).

Из условия равновесия \(F_{\text{тяж}} = F_{\text{Арх}}\) находим искомую плотность: \[\rho_0 = \dfrac{11}{6}\rho.\] Примечание. Предлагаем читателям самостоятельно исследовать, будет ли рассмотренное положение равновесия устойчивым, а для этого целесообразно ознакомиться с понятием «центр плавучести».

2. Сила для погружения. По мере погружения тела в более плотные слои жидкости сила Архимеда будет расти, поэтому искомая сила \(F_1\) должна быть равна увеличению силы Архимеда в тот момент, когда тело почти коснулось дна, но ещё не прилегает к нему. Поскольку сосуд широкий, можно не учитывать перераспределение жидкости по вертикали при перемещении тела, а поскольку расстояние от нижнего основания до дна было равно высоте цилиндра, плотность жидкости около любой точки тела увеличится на \(\rho\). Поэтому изменение силы Архимеда можно найти через это одинаковое по всему объёму тела приращение плотности жидкости: \[\Delta F_{\text{Арх}} = \rho\cdot 3SH\cdot g,\] откуда сразу получаем искомую силу: \[F_1 = \Delta F_{\text{Арх}} = 3\rho SHg.\] Примечание. Чтобы убедиться в правильности рассуждений о приращении плотности, можно рассчитать \(\Delta F_{\text{Арх}}\) и через новую силу Архимеда: \[F'_{\text{Арх}} = \dfrac{2\rho + 3\rho}{2}\cdot 2SH\cdot g + \dfrac{3\rho + 4\rho}{2}\cdot SH\cdot g = \dfrac{17}{2}\rho SHg.\] 3. Сила для удержания. Сила Архимеда равна сумме сил давления среды на полную поверхность тела. Когда нижнее основание коснётся дна, жидкости под ним больше не будет, то есть она перестанет давить на это основание площадью \(S\), из-за чего сила Архимеда уменьшится на величину \(PS\), где \(P\) — давление жидкости на уровне дна сосуда. Значит, для удержания тела потребуется меньшая сила, чем для его погружения: \[F_2 = F_1 - PS. \tag{1}\] Найдём гарантированную нижнюю границу для величины давления \(P\): пусть \(P_0 = 0\) (реально \(P_0 > 0\)), \(H_0 = 3H\) (реально \(H_0 > 3H\), так как тело было погружено в положении равновесия), плотность жидкости везде равна \(\rho\) (реально она меняется от \(\rho\) до \(4\rho\) на рассматриваемой глубине), тогда \(P = 3\rho gH\), а из формулы (1) получаем \(F_2 = 0\). Следовательно, при подстановке в эту формулу реального значения \(P\), которое заведомо больше \(3\rho gH\), получим \(F_2 < 0\). Это означает, что для удержания тела на дне не требуется прикладывать силу вниз, а наоборот потребовалось бы приложить силу вверх, чтобы оторвать тело от дна. Таким образом, ответ имеет вид \(F_2 = 0\), а значения \(P_0\) и \(H_0\) являются лишними данными, не влияющими на ответ при заданных площадях оснований и плотности жидкости.

Примечание. Эффект уменьшения силы Архимеда из-за выдавливания жидкости из-под тела может оказаться очень значительным на практике. Например, известны случаи, когда подводные лодки садились на илистое дно и не могли всплыть даже после полной продувки цистерн балласта.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.