Масса и плотность

Огромная льдина массой 1800 т полностью тает, превращаясь в воду. Затем температура воды поднимается до \(4^\circ\text{C}\). На сколько кубических метров объем, занимаемый льдом, отличается от объема образовавшейся воды? Плотность льда равна 900 кг/м\(^3\), плотность воды при температуре \(4^\circ\text{C}\) равна 1000 кг/м\(^3\).

Внутри металлического бруска массой 48 кг находится полость. Размеры рельса \(5\text{ см}\times 5\text{ см}\times 10\text{ м}\). Плотность металла \(2000\text{ кг/м}^3\). Каков объем полости? Ответ дайте в кубических сантиметрах и округлите до целых.

На одной чаше весов лежит брусок \(2\text{ см}\times 2\text{ см}\times 5\text{ см}\) плотностью \(4000\text{ кг/м}^3\), а на другой брусок \(5\text{ см}\times 5\text{ см}\times 2\text{ см}\) плотностью \(3000\text{ кг/м}^3\). Какую гирьку надо поставить на весы, чтобы их уравновесить? Ответ дать в граммах

Куб с ребром 1 м, сделанный из материала плотностью \(5000\text{ кг/м}^3\), имеет полость, и масса этого изделия 4,5 т Каков объем полости? Ответ дайте в \(\text{см}^3\).

На Руси использовались в качестве единиц измерения объёма бочка, ведро и штоф. 1 бочка = 40 вёдер, 1 ведро = 10 штофов, 1 штоф = 1,2 литра. Сколько вершков составляет длина ребра ледяного кубика объёмом 0,1 бочки, если 1 вершок = 5 см? Плотность льда \(\rho = 900\) кг/м\(^3\).

На дне пруда черепахи Тортиллы Буратино нашел золотой ключик, который оказался увесистым и плоским: толщина ключика 5 мм, а его сечение показано на рисунке (площадь одной квадратной клетки соответствует 1 см\(^2\)). Определите массу ключика в граммах. Плотность золота 19300 кг/м\(^3\).

Стальная башня высотой 300 м имеет массу 7200 т. Какую массу будет иметь уменьшенная копия этой башни высотой 1,5 м, изготовленная также из стали? Ответ выразите в граммах.

Капля масла растеклась по поверхности озера, образовав пятно площадью \(40\text{ м}^2\). Определите толщину слоя масла. Масса капли \(4\text{ г}\), плотность масла \(0{,}8\text{ г/см}^3\). Ответ выразите в нанометрах (это миллиардная доля метра) и округлите до целых.

Масса белого карлика Сириус В составляет \(0{,}978\) масс Солнца, а его радиус равен \(0{,}0084\) радиуса Солнца. Во сколько миллионов раз плотность Сириуса В больше плотности Солнца? Ответ округлите до сотых.

Из бронзы плотностью \(8{,}77\text{ г/см}^3\) делают прямоугольные металлические листы со сторонами \(1\text{ м}\) и \(2\text{ м}\) и толщиной \(3\text{ мм}\). Какое максимальное количество таких листов можно изготовить из тонны бронзы?

Из бронзы плотностью 8,77 г/см\(^3\) делают прямоугольные металлические листы со сторонами 1 м и 2 м и толщиной 3 мм. Какое максимальное количество таких листов можно изготовить из двух тонн бронзы?

Вася взвесил на очень точных электронных весах (которые «чувствуют» изменение массы 0,01 г) два чистых белых листа бумаги формата А4 (плотность бумаги 80 г/м\(^2\), размеры листа 297 мм \(\times\) 210 мм). Массы листов были совершенно одинаковыми. На одном из листов на двух его сторонах Вася напечатал на принтере текст, в котором было 6500 символов. После взвешивания листа с текстом оказалось, что его масса увеличилась на 1,6%. Сколько в среднем весит один символ?

Рубик поставил кубик с длиной стороны 20 см перед собой и последовательно начал отрезать слои толщиной 5 см – сначала сверху, затем справа, слева, перед собой, у дальней грани и снизу. Найдите суммарную массу четырех самых больших отрезанных частей. Плотность кубика 0,9 г/см\(^3\). Ответ выразите в кг и округлите до десятых.

В магазине продаётся разливное подсолнечное масло по цене 180 рублей за литр. Вася решил купить 2 литра масла. Однако, когда продавщица наливала масло в двухлитровую бутылку, масло закончилось, а бутылка осталась неполной. Продавщица определила массу масла, взвесив на весах бутылку с маслом и пустую бутылку и вычислив разность. Предполагая, что один миллилитр масла имеет массу один грамм, продавщица посчитала стоимость масла в бутылке и получила 250 рублей. Вася отдал деньги и взял масло. Придя домой, Вася понял, что продавщица ошиблась, поскольку плотность масла не равна плотности воды. Вася выяснил, что плотность купленного им масла равна 925 кг/м\(^3\), и понял, что дал продавщице меньше денег, чем нужно. Сколько рублей и сколько копеек Вася должен доплатить, чтобы покупка была честной? Число копеек округлите до целых.

Сосуд, полностью заполненный водой, весит 400 г. Если этот же сосуд заполнить до краёв маслом, то его масса окажется равной 361 г. Найдите массу пустого сосуда. Плотность воды равна 1000 кг/м\(^3\), плотность масла — 850 кг/м\(^3\). Ответ выразите в г, округлите до целого числа.

Нюша затеяла ремонт и выбрала обои. Длина рулона обоев 10,5 м, его ширина 55 см, толщина бумаги 0,5 мм, ее плотность 1200 кг/м\(^3\). Воспользовавшись планом своей комнаты (см. рисунок), Нюша рассчитала нужное количество рулонов обоев, при условии, что наклеивать их будут вертикально, точно «встык» и используя только целые куски (по вертикали). Какова масса (в граммах) покупки Нюши?

На горизонтальной поверхности находится сосуд, доверху заполненный водой. В сосуд погружают две шахматные фигурки – первую из серебра, вторую из слоновой кости. Определите отношение объемов фигурок \(V_2/V_1\), если известно, что после их погружения масса сосуда увеличилась на 111 г, а из сосуда вылилось 30 мл воды. Плотность серебра \(\rho_1 = 10500\) кг/м\(^3\), плотность слоновой кости \(\rho_2 = 1800\) кг/м\(^3\), плотность воды \(\rho_\text{в} = 1000\) кг/м\(^3\).

Какова масса (в граммах) сплошного золотого слитка, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда, если площадь его поверхности \(S = 0{,}035\) м\(^2\), а длины двух его сторон \(a = 5\) см и \(b = 3\) см? Плотность золота \(\rho = 19300\) кг/м\(^3\).

На горизонтальной поверхности находится цилиндрический сосуд с водой. Радиус сосуда 5 см, высота сосуда 30 см, высота жидкости в сосуде 25 см. Какое максимальное количество монет толщиной 2,5 мм и радиусом 1,25 см можно аккуратно положить в этот сосуд, чтобы гарантированно не пролить ни одной капли жидкости?

Никели́рование – обработка поверхности изделий путем нанесения на них никелевого покрытия. Определите массу чугунного куба, для никелирования поверхности которого требуется \(m = 6{,}675\) кг никеля при толщине слоя никеля, равной \(0{,}5\) мм. Плотность чугуна \(\rho_1 = 7400\) кг/м\(^3\), плотность никеля \(\rho_2 = 8900\) кг/м\(^3\). Ответ выразите в кг.

Большой закрытый бак кубической формы, длина ребра которого равна \(L = 120\) см, сделан из толстых листов железа. Будучи пустым, бак, стоя на четырех кирпичах, площадь каждого из которых равна \(S = 312{,}5\) см\(^2\), оказывает на каждый из них давление \(p = 323481{,}6\) Па. Скольким миллиметрам равна толщина стенок бака? Плотность железа \(\rho = 7800\) кг/м\(^3\), ускорение свободного падения \(g\) принять равным \(10\) м/с\(^2\).

В стакане объемом \(0{,}0002\text{ м}^3\) находится 119 г воды. Какой объем льда нужно добавить, чтобы стакан оказался полон, когда лед растает? Плотность воды \(1000\text{ кг/м}^3\), плотность льда \(900\text{ кг/м}^3\). Ответ дайте в \(\text{см}^3\) и округлите до целых.

В литровой банке находятся гвозди объемом \(2\text{ мм}\times 2\text{ мм}\times 2\text{ см}\). В банку наливают 200 г воды, и она оказывается наполненной до краев. Сколько гвоздей в банке? Ответ округлите до целых.

В зоомагазине довольно продолжительное время продавался стеклянный аквариум. Со временем этикетка, на которой были обозначены внешние размеры аквариума, затерлась, и остался только размер его одной стороны — ширины \(a = 100\) см. Опытная продавщица, однако, помнила пропорции этого аквариума: толщина каждой из стенок в 100 раз меньше его ширины; длина в 2 раза больше суммы его ширины и толщины его стенки; а если к ширине аквариума прибавить величину в 2 раза большую, чем толщина его стенки, то эта величина равна высоте аквариума. Какова масса \(m\) такого аквариума в килограммах? Плотность стекла \(\rho = 2{,}5\) г/см\(^3\).

В известном опыте «Бездонный бокал» в стеклянный бокал, доверху наполненный водой, аккуратно опускают одну за другой булавки. При этом вода приподнимается над краями стакана, но не выливается из него (за счет явления смачивания).

Возьмем доверху наполненный водой цилиндрический стакан и взвесим его. Затем начнем аккуратно опускать в него булавки (длина булавки 2,5 см, толщина 0,4 мм) одну за другой до тех пор, пока вода потечет по внешним стенкам стакана. Так же аккуратно протрем стенки и края стакана от оставшихся капель воды, и взвесим этот стакан с булавками и водой. Сколько булавок находится в стакане, если в результате взвешиваний было обнаружено, что изменение массы стакана (который сначала был с водой, но без булавок) составило 19,21 г?

Плотность воды 1 г/см\(^3\), плотность металла, из которого изготовлены булавки, 7800 кг/м\(^3\).

Масса канистры с бензином составляет 8 кг, а такой же канистры с водой 11 кг. Плотность бензина составляет \(7/10\) от плотности воды.

Вопрос A (5 баллов). Найдите массу пустой канистры. Ответ представьте в килограммах и округлите до целых.

Вопрос B (5 баллов). Найдите объем канистры. Ответ представьте в литрах и округлите до целых. Один килограмм воды занимает один литр.

У школьницы Ирины имеются весы, коробка с одинаковыми кубиками и коробка с одинаковыми шариками. На левой чаше весов – гиря неизвестной массы. В первом опыте Ирина стала класть на правую чашу весов кубики (по одному); она увидела, что масса двух кубиков еще меньше массы гири, а масса трех кубиков уже больше массы гири. Во втором опыте Ирина убрала кубики и стала класть на правую чашу весов шарики; она заметила, что масса одного шарика меньше массы гири, а масса двух шариков – уже больше. Чему может быть равно отношение массы шарика к массе кубика? Отношение в ответе записывайте в виде обыкновенной дроби.

У школьницы Карины имеются весы, коробка с одинаковыми кубиками и коробка с одинаковыми шариками. На правой чаше весов — гиря неизвестной массы. В первом опыте Карина стала класть на левую чашу весов кубики (по одному); она увидела, что масса трех кубиков еще меньше массы гири, а масса четырех кубиков уже больше массы гири. Во втором опыте Карина оставила на левой чаше весов один кубик, убрала остальные кубики и стала класть на левую чашу весов шарики; она заметила, что масса кубика и одного шариков меньше массы гири, а масса кубика и двух шариков — уже больше. Чему может быть равно отношение массы шарика к массе кубика? Отношение в ответе записывайте в виде обыкновенной дроби.

Из набора гирь («разновесов») Настей были утеряны некоторые миллиграммовые гирьки. Для изготовления временных миллиграммовых разновесов она использовала бумагу из папиного принтера. Помогите Насте вычислить размеры бумажных разновесов прямоугольной формы для замены гирек массами 50 мг, 100 мг, 200 мг (по одному варианту для каждой гирьки). Один квадратный метр бумаги имеет массу 80 г. Какое максимальное число наборов из трёх разновесов прямоугольной формы можно получить из листа бумаги с размерами \(20 \times 40\) см\(^2\)?

Из набора гирь («разновесов») Настей были утеряны некоторые миллиграммовые гирьки. Для изготовления временных миллиграммовых разновесов она использовала бумагу из папиного принтера. Помогите Насте вычислить размеры бумажных разновесов прямоугольной формы для замены гирек массами 50 мг, 100 мг, 200 мг (по одному варианту для каждой гирьки). Один квадратный метр бумаги имеет массу 80 г. Какое максимальное число наборов из трёх разновесов прямоугольной формы можно получить из листа бумаги с размерами \(20 \times 40\text{ см}^2\)?

В бочку объёмом 90 л, которая была на две трети объёма заполнена медом, залез Винни-Пух. При этом уровень мёда поднялся до краев и 9 кг меда вытекли наружу. Из бочки осталась торчать только голова Винни-Пуха, объем которой равен одной десятой объёма медведя. Определите массу Винни-Пуха, если его средняя плотность 1000 кг/м\(^3\). Плотность мёда 1500 кг/м\(^3\).

Полый стальной кубик с тонкими стенками, длина ребра которого 100 мм, имеет массу 472 г. Чему равна толщина стенок кубика, если у всех стенок она одинакова? Плотность стали \(\rho_c = 7800\text{ кг/м}^3\).

Из листа картона с поверхностной плотностью \(\sigma = 400\) г/м\(^2\) склеили закрытую со всех сторон коробочку в форме прямоугольного параллелепипеда со сторонами \(a = 20\) см, \(b = 40\) см, \(c = 60\) см. Для большей прочности коробочку равномерно покрыли снаружи толстым слоем лака с плотностью \(\rho = 1500\) кг/м\(^3\). В результате масса коробочки оказалась равной \(m = 1670\) г. Определите толщину \(h\) слоя лака. Шириной загибов картона при склеивании можно пренебречь.

Цилиндрический фильтр с поперечным сечением \(S = 100\) см\(^2\) и объёмом \(V_0 = 2\) литра заполнен водой и однородно распределёнными гранулами объёмом \(\Omega = 0{,}8\) см\(^3\) каждая. Когда снизу открыли кран и через него вытек объём воды \(V = 0{,}13\) литра, то уровень воды в фильтре понизился на \(h = 5\) см. Сколько гранул находится в фильтре? Расположение гранул при вытекании воды из фильтра остаётся неизменным.

Геша измерял плотность маленького стеклянного зайчика. Он налил воду в мензурку с ценой деления 2 мл, при этом столб воды доходил до отметки 170 мл. После того, как Геша полностью погрузил зайчика на ниточке в воду, уровень воды поднялся до 180 мл. Далее Геша решил взвесить зайчика на школьных рычажных весах для лабораторных работ. Но гири у него были только массой 2 г. Получилось, что 12 гирь мало, чтобы уравновесить зайчика, а 13 "— много. Не долго думая, Геша вычислил плотность зайчика: \[\rho = \frac{25\text{ г}}{180\text{ мл} - 170\text{ мл}} = 2500\text{ кг/м}^3 .\] Пришёл Лёлик, назвал Гешу неумным человеком и сказал, что на самом деле значение плотности зайчика может сильно отличаться от значения, вычисленного Гешей. Известно, что Лёлик оценивает погрешность измерения объёма мензуркой в половину цены деления.

Чему может быть равна плотность зайчика?

Сосуд имеет форму кубика с площадью основания \(10\text{ см}^2\). На дне сосуда лежит кусочек льда, в который вмёрз стальной шарик. Масса льда составляет \(1{,}8\text{ г}\). На какое расстояние понизится уровень воды в сосуде после того, как лёд растает? Плотность льда \(0{,}9\text{ г/см}^3\), плотность воды \(1{,}0\text{ г/см}^3\). Ответ выразите в миллиметрах и округлите до десятых.

Масса шприца с \(V_1 = 2\) мл лекарства равна \(m_1 = 13{,}5\) г, а с \(V_2 = 5\) мл лекарства \(m_2 = 18{,}0\) г. Площадь поршня шприца \(S_1 = 1\) см\(^2\). Диаметр внутреннего отверстия иглы в \(\alpha = 20\) раз меньше диаметра поршня. Определите массу \(m\) пустого шприца, плотность \(\rho\) лекарства и среднюю скорость \(u\), с которой лекарство выходило из иглы, если весь объем \(V_2\) был выпущен за время \(t = 10\) с.

Два одинаковых цилиндрических стакана, заполненных до краёв различными жидкостями, стоят на электронных весах, как показано на рисунке. Показание левых весов на 0,5 кг больше показания правых. Два насоса одновременно начинают откачивать из стаканов жидкости таким образом, что уровень жидкости в левом стакане понижается вдвое быстрее, чем в правом. Максимальная величина разности показаний весов в процессе откачивания жидкостей снова составила 0,5 кг. Чему равно отношение плотностей налитых в сосуды жидкостей?

Большое количество полосок из пластика шириной \(2d\) и толщиной \(0{,}02d\) переплели между собой так, что получилось пластиковое полотно, небольшой фрагмент которого показан на рисунке. Ширина промежутка между любыми двумя параллельными полосками равна \(d\).

1. Как изменится поверхностная плотность полотна, если все линейные размеры (полосок и промежутков) станут в два раза меньше?

2. Во сколько раз изменится поверхностная плотность полотна, если ширина промежутков между полосками станет равна \(0{,}5d\)?

Некоторые вещества при определённых температуре давлении могут изменять тип своей кристаллической решётки. Железо при температуре \(911\,^\circ\)C проявляет полиморфизм "— решётка перестраивается из кубической объемноцентрированной в кубическую гранецентрированную. Ячейки этих решёток изображены на левом и правом рисунках соответственно, чёрными кружками обозначено положение атомов железа.

Отношение размеров ячеек равно \(\dfrac{b}{a} = 1{,}247\). На сколько процентов изменяется плотность железа в процессе такого полиморфного превращения?

Показания весов, на которых стоит стакан, до краев заполненный водой, составляют 340 г. Если в этот же стакан вместо воды налить до краев масло, то весы покажут 310 г. Если в этот же пустой стакан бросить шарик массой 40 г и объемом 20 см\(^3\), и затем налить до краев масло, то шарик окажется лежащим на дне, а весы станут показывать 332 г. Определите массу пустого стакана. Ответ выразите в г, округлив до целого числа. Плотность воды равна 1 г/см\(^3\), плотность масла неизвестна.

Сколько весит брусок сплава такого же объема, как килограмм воды, и такой же плотностью, как камень объемом \(2\text{ м}^3\) и массой 4 тонны? Ответ дайте в Ньютонах, округлив его до целых. Ускорение свободного падения принять равным \(g=10\text{ м/с}^2\).

Какой вес должна выдерживать веревочка, чтобы на ней можно было подвесить статуэтку из сплава плотностью \(5000\text{ кг/м}^3\) объемом \(2\text{ дм}^3\) с подставкой из камня плотностью \(7000\text{ кг/м}^3\) объемом \(1\text{ дм}^3\)? Ответ дайте в Н.

Злая мачеха Золушки высыпала в пустой котел полпуда овса и пуд ржи и перемешала. Объем зернышка овса равен \(0{,}04\) см\(^3\). Сколько зернышек овса потребуется обнаружить и выбрать Золушке из котла, чтобы, отделив овес от ржи, поехать на бал? Один пуд равен 16 кг. Плотность зерен овса 1250 кг/м\(^3\).

Вес груза в воздухе составляет 17 Н. Когда этот груз опустили в сосуд с водой, имеющий форму куба со стороной 1 дм, он утонул, полностью покрывшись водой, а ее уровень поднялся на 2 см, не достигнув верхнего края сосуда. Определите плотность материала груза.

Динамометром измеряют вес вещества объемом \(2\text{ см}\times 5\text{ см}\times 10\text{ см}\), завернутого в фольгу. Масса фольги 10 г. Динамометр показывает 0,6 Н. Какова плотность вещества? Ускорение свободного падения принять равным \(10\text{ м/с}^2\). Ответ дайте в \(\text{кг/м}^3\).

Воздушный шарик объемом 4,5 дм\(^3\) и массой 1 г, наполненный водородом, пытается улететь. Грузик какой массы нужно к нему подвесить, чтобы шарик повис в воздухе? Плотность воздуха 1,202 кг/м\(^3\), плотность водорода 0,082 кг/м\(^3\). Ответ дайте в граммах, округлив до целых.

В известном мультфильме про Винни-Пуха есть явное несоответствие: Винни-Пух надувает воздушный шарик обычным воздухом и взлетает на нём. Для того, чтобы воздушный шарик поднимался (а тем более поднимал Винни-Пуха), нужно, чтобы он был наполнен лёгким газом, плотность которого меньше плотности окружающего воздуха. Можно предположить, что Винни-Пух надувает шарик тёплым воздухом, плотность которого, как известно, меньше плотности холодного. Рассчитайте, каким должен быть в этом случае минимальный необходимый для подъёма объём шарика, если плотность тёплого воздуха внутри \(\rho_1 = 1{,}13\) кг/м\(^3\), плотность холодного воздуха снаружи \(\rho_2 = 1{,}29\) кг/м\(^3\), а масса Винни-Пуха \(m = 5\) кг.

Сплошной металлический брусок прямоугольного сечения состоит из двух частей, имеющих разные плотности. Брусок положили на опору, совместив точку опоры с местом соединения этих двух частей (см. рисунок), и брусок при этом оказался в равновесии. Длина части 1 \(L_1 = 1\) м, плотность материала этой части \(\rho_1 = 7850\) кг/м\(^3\), масса другой части \(m_2 = 9{,}42\) кг. Определите плотность материала части 2. Площадь поперечного сечения бруска \(S = 10\) см\(^2\). Ответ выразите в кг/м\(^3\).

Моток медной проволоки имеет массу \(m = 3{,}56\) кг и электрическое сопротивление \(R = 6{,}8\) Ом. Определите длину проволоки в мотке. Плотность меди \(\rho_м = 8900\) кг/м\(^3\), ее удельное сопротивление \(\rho = 1{,}7 \cdot 10^{-8}\) Ом\(\cdot\)м. Ответ выразите в м.

Имеется катушка медной проволоки с площадью поперечного сечения \(0{,}1\text{ мм}^2\). Масса всей проволоки 890 г. Определите сопротивление проволоки. Удельное сопротивление меди \(1{,}7\cdot 10^{-8}\text{ Ом}\cdot\text{м}\), плотность 8900 кг/м\(^3\). Ответ выразите в Ом.

Определите плотность вещества, образующего кубическую кристаллическую решётку с расстоянием между атомами \(0{,}255\) нанометра (один нанометр — это миллиардная доля метра). Известно, что масса \(6\cdot 10^{23}\) атомов (\(6\cdot 10^{23}\) — это число из шестёрки и 23 нулей) данного вещества составляет \(27\text{ г}\). Ответ выразите в г/см\(^3\) и округлите до десятых.

Имеется сосуд с водой в форме куба длиной ребра \(1\text{ дм}\). На сколько поднимется уровень воды в сосуде, если аккуратно положить в сосуд \(900\text{ г}\) льда и подождать, когда лёд растает? Плотность льда \(900\text{ кг/м}^3\), плотность воды \(1000\text{ кг/м}^3\), вода из сосуда не выливается. Ответ представьте в сантиметрах и округлите до целых.

Для строительства дома требуется смесь песка со щебнем и цемента общей массой 28 тонн, содержащая цемент и песок с щебнем в отношении 1:8 (по объёму). На стройке уже имеется 3 тонны песка со щебнем и 3 тонны цемента, а остальные материалы хранятся на складе недалеко от стройплощадки.

1. Сколько тонн песка со щебнем и сколько тонн цемента требуется для строительства дома?

2. Сколько поездок потребуется совершить, чтобы доставить недостающие строительные материалы, если вместимость кузова электрокара, в котором их будут перевозить, составляет 400 л?

Вася наполнил две одинаковые легкие пластиковые бутылки емкостью 1 литр кварцевым песком по самое горлышко, и взвесил их. Получились одинаковые массы 1530 г. Затем Вася аккуратно пересыпал песок из одной бутылки в пакет, заполнил бутылку наполовину водой и медленно высыпал весь песок из пакета обратно в эту бутылку, которая снова оказалась заполненной по самое горлышко смесью песка с водой. Весы показали массу бутылки 1866 г. Какова плотность кварца?

В 1802 году Ж. Гей-Люссак, исследуя тепловое расширение воздуха, обнаружил, что объем порции воздуха при атмосферном давлении линейно зависит от температуры, измеряемой в градусах Цельсия: график зависимости объема от температуры является прямой линией. При этом объемы воздуха при температурах 100 °C и 0 °C относятся примерно как 11 : 8.

1. Запишите формулу, выражающую плотность \(\rho\) воздуха при температуре \(t\) через плотность воздуха \(\rho_0\) при 0 °C и температуру \(t\) (выраженную в градусах Цельсия).

2. Определите отношение плотности воздуха при температуре 10 °C к плотности воздуха при температуре 20 °C.

3. Считая плотность воздуха при 0 °C равной \(\rho_0 = 1{,}3\) кг/м\(^3\), рассчитайте, как и на сколько изменится масса воздуха в помещении объемом 40 м\(^3\) при уменьшении температуры от 20 °C до 10 °C.

В вертикальный цилиндрический стакан высотой \(H = 10\) см и площадью дна \(S = 100\) см\(^2\) налита вода до уровня \(h = 8\) см. В стакан опустили, не разбрызгивая воду, \(N_1 = 100\) стальных шариков объемом \(V_1 = 1\) см\(^3\) каждый, а затем еще \(N_2 = 50\) ледяных кубиков объемом \(V_2 = 2{,}5\) см\(^3\). Какова оказалась после этого сила \(F\) давления на дно стакана? Плотность воды \(\rho = 1\) г/см\(^3\), стали \(\rho_1 = 7{,}8\) г/см\(^3\), льда \(\rho_2 = 0{,}9\) г/см\(^3\), ускорение свободного падения \(g = 10\) м/с\(^2\), трением и атмосферным давлением пренебречь.

В цилиндрический стакан налита вода до уровня \(h_0 = 10\) см при температуре \(t_0 = 0\) °С. В стакан бросают алюминиевый шарик, вынутый из другого сосуда с водой, кипящей при температуре \(t_{\text{к}} = 100\) °С. При этом уровень воды повышается на \(x = 1\) см. Какой будет установившаяся температура в стакане? Удельные теплоемкости воды и алюминия \(c_{\text{в}} = 4200\) Дж/(кг\(\cdot\)°С) и \(c_{\text{а}} = 920\) Дж/(кг\(\cdot\)°С), плотности воды и алюминия \(\rho_{\text{в}} = 1000\) кг/м\(^3\) и \(\rho_{\text{а}} = 2700\) кг/м\(^3\). Теплоемкостью стакана можно пренебречь.

Какую часть металлических опилок нужно досыпать в мешок, чтобы в воде он весил столько же, сколько весил в масле? Плотность воды 1000 кг/м\(^3\), плотность масла 900 кг/м\(^3\), плотность опилок 2900 кг/м\(^3\). Считайте, что объем мешка с опилками равен объему опилок. Ответ дайте в процентах, округлив до целых.

Два связанных друг с другом шарика, алюминиевый и деревянный, находятся в безразличном равновесии в сосуде с водой, не касаясь его дна, стенок и поверхности воды. Масса алюминиевого шарика составляет 54 г. Какова масса деревянного шарика? Ответ выразите в граммах и округлите до целых. Отношение плотностей алюминия, дерева и воды составляет \(2{,}7 : 0{,}8 : 1\).

При изучении порошка из мелких кристаллов неизвестной соли, имеющих неправильную форму, его поместили в сосуд с поршнем, заполненный воздухом и снабженный точным манометром для измерения давления внутри сосуда. Оказалось, что когда объем содержимого сосуда составлял \(V_1 = 506\text{ см}^3\), давление в нем равнялось \(p_1 = 1000\text{ гПа}\), а после изотермического уменьшения объема до \(V_2 = 253\text{ см}^3\) давление увеличилось до \(p_2 = 2012\text{ гПа}\). Масса порошка \(m = 6{,}9\text{ г}\). Найдите плотность этой соли. Ответ выразите в \(\text{кг/м}^3\) и округлите до целых.

Расстояние между отметками 35 °C и 42 °C шкалы медицинского ртутного термометра равно 5 см, а в резервуаре термометра хранится 2 г ртути. Оцените по этим данным площадь поперечного сечения капилляра термометра (в квадратных миллиметрах). Известно, что из-за теплового расширения плотность ртути при температуре 42 °C оказывается в 1,00125 раз меньше, чем при температуре 35 °C. Плотность ртути при температуре 35 °C считайте равной 13,6 г/см\(^3\). Тепловым расширением стекла можно пренебречь.

Расстояние между отметками 35 °C и 42 °C шкалы медицинского ртутного термометра равно 5 см, а в резервуаре термометра хранится 2 г ртути. Оцените по этим данным площадь поперечного сечения капилляра термометра (в квадратных миллиметрах). График зависимости объема \(V\) ртути от температуры \(t\), выраженной в градусах Цельсия, является прямой линией, изображенной на рисунке. При 100 °C объем ртути в 1,018 раз больше объема ртути при 0 °C. Плотность ртути при температуре 0 °C считайте равной 13,6 г/см\(^3\). Тепловым расширением стекла можно пренебречь.

Школьница Арина исследует свойства пружины при подвешивании к ней различных грузов. У Арины в запасе много одинаковых гирь, а также сосуд, в который можно наливать воду. Арина обнаружила, что сосуд с 2 л воды растягивает пружину сильнее, чем 10 гирь, но слабее, чем 11 гирь. Сосуд же с 3 л воды растягивает пружину сильнее, чем 13 гирь, но слабее, чем 14 гирь. Плотность воды составляет 1 г/см\(^3\).

Вопрос A (2 балла). Какой может быть минимальная масса гири при данных условиях? Ответ представьте в граммах и округлите до целых.

Вопрос B (2 балла). Какой может быть максимальная масса гири при данных условиях? Ответ представьте в граммах и округлите до целых.

Вопрос C (3 балла). Какой может быть минимальная масса пустого сосуда при данных условиях? Ответ представьте в граммах и округлите до целых.

Вопрос D (3 балла). Какой может быть максимальная масса пустого сосуда при данных условиях? Ответ представьте в граммах и округлите до целых.

Кубик из пластилина с длиной ребра 4 см, в котором есть внутренняя полость, держится в жидкости на плаву, погружаясь в нее на \(1/24\) своего объёма. Если этот пластилиновый кубик смять и снова вылепить из него кубик, но уже без полости, то новый кубик тоже держится на плаву, погружаясь на \(8/9\) своего объема. Считая, что при плавании верхняя грань кубика без полости горизонтальна, найдите, на сколько миллиметров он выступает из жидкости. Плотность пластилина при лепке не меняется.

Парафиновая свеча имеет цилиндрическую форму с площадью поперечного сечения \(S = 1\) см\(^2\). Длина свечи \(L = 20\) см. Если такая свеча горит на подсвечнике, то время её горения \(T = 3\) часа. На одном конце такой свечи подожгли фитиль, а к другому её концу прилепили стальной шарик диаметром \(D = 7\) мм. Свечу опустили в воду, и она, горя, некоторое время плавала в вертикальном положении, не касаясь дна сосуда. Сколько часов она горела? Плотность парафина \(\rho_\text{п} = 0{,}9\) г/см\(^3\), плотность стали \(\rho_\text{с} = 7{,}8\) г/см\(^3\), плотность воды \(\rho_\text{в} = 1{,}0\) г/см\(^3\). Объем шара радиусом \(R\) равен \(\frac{4}{3}\pi R^3\).

В атомной физике расстояния измеряются в нанометрах (нм), а массы — в атомных единицах массы (а.е.м.). Один метр составляет миллиард нанометров, а один грамм равен \(6\cdot 10^{23}\) а.е.м. (\(10^{23}\) — это число из единицы и 23 нулей). Масса атома алюминия составляет \(27\) а.е.м., а плотность алюминия \(2{,}7\text{ г/см}^3\). Какую толщину имеет алюминиевая фольга, состоящая из 20 слоёв атомов? Ответ представьте в нанометрах и округлите до целых.

В атомной физике расстояния измеряются в нанометрах (нм), а массы — в атомных единицах массы (а.е.м.). Один метр составляет миллиард нанометров, а один грамм равен \(6\cdot10^{23}\) а.е.м. (\(10^{23}\) — это число из единицы и 23 нулей). Масса атома алюминия составляет 27 а.е.м., а плотность алюминия 2,7 г/см\(^3\). Какую толщину имеет алюминиевая фольга, состоящая из 40 слоев атомов? Ответ представьте в нанометрах и округлите до целых.

При напылении серебряной плёнки её толщина растёт со скоростью 6 слоёв атомов за 1 секунду. Сколько времени потребуется для напыления плёнки толщиной 2 мкм? Известно, что масса \(6\cdot10^{23}\) атомов серебра составляет 108 г, а плотность серебра 10,5 г/см\(^3\). Ответ представьте в минутах и округлите до целых.

В цилиндрический стакан до половины налили зеленую жидкость, которая не смешивается и никак не реагирует с водой, после чего отметили на стенке уровень жидкости. Затем в стакан опустили маленький кусочек льда (объем кусочка гораздо меньше объёма жидкости). При этом уровень зеленой жидкости в стакане поднялся на величину \(x\). После того, как весь лёд растаял, уровень зеленой жидкости над начальной отметкой составил \(y\). Постройте график зависимости отношения \(y/x\) от плотности \(\rho\) зеленой жидкости.

Чебурашка и Гена долго строили и, наконец, построили наглядную модель графена – двумерного кристалла углерода, состоящего из ячеек в виде правильных шестиугольников, как показано на рисунке в масштабе \(250.000.000 : 1\).

Количество ячеек в модели было большим, так что её площадь оказалась равной \(12{,}5\) м\(^2\). Атомы углерода в модели – одинаковые пластилиновые шарики, а «связи» между «атомами» – кусочки проволоки, сделанной из медного сплава. При этом объем пластилина в каждом шарике в 9 раз больше объема каждой проволочки, соединяющей соседние шарики.

Оцените массу этой модели графена. Плотность пластилина \(\rho_{\text{плас}} = 1330\) кг/м\(^3\), плотность медного сплава \(\rho_{\text{пров}} = 9000\) кг/м\(^3\). Масса проволочек, необходимых для изготовления одной-единственной ячейки графена, составляет 487 мг. Расстояние между центрами соседних атомов настоящего графена \(0{,}142\) нм (нанометр – это одна миллионная часть миллиметра). Площадь \(S\) правильного шестиугольника с длиной стороны \(a\) определяется по формуле: \(S = \dfrac{3\sqrt{3}}{2}a^2\), где \(\sqrt{3} \approx 1{,}7\).

Специальная тонкостенная стеклянная мензурка с толстым массивным дном (объём стенок мензурки пренебрежимо мал по сравнению с объёмом дна) плавает в воде. На боковую поверхность мензурки нанесена мерная шкала, состоящая из делений, расположенных на равном расстоянии друг от друга, подписей к делениям нет. Нулевое деление находится на уровне верхнего края дна мензурки. Толщине дна соответствуют два деления шкалы (определили «на глаз»). Неизвестную жидкость наливают в мензурку до двенадцатого деления по шкале и аккуратно погружают мензурку с жидкостью в воду. Мензурка плавает, при этом уровень неизвестной жидкости оказывается вровень с уровнем воды (на рисунке слева). Если теперь в мензурку долить такой же объём жидкости, что и в первом случае, то мензурка не утонет, а уровень неизвестной жидкости окажется на три деления выше уровня воды (на рисунке справа). Полагая, что плотность воды и ускорение свободного падения равны \(\rho = 1{,}0\) г/см\(^3\) и \(g = 10\) м/с\(^2\), определите следующие величины.

1. Плотность неизвестной жидкости.

2. Плотность стекла, из которого изготовлена мензурка.

Специальная тонкостенная стеклянная мензурка с толстым массивным дном (объём стенок мензурки пренебрежимо мал по сравнению с объёмом дна) плавает в воде. На боковую поверхность мензурки нанесена мерная шкала, состоящая из делений, расположенных на равном расстоянии друг от друга, подписей к делениям нет. Нулевое деление находится на уровне верхнего края дна мензурки. Толщине дна соответствуют два деления шкалы (определили «на глаз»). Неизвестную жидкость наливают в мензурку до двенадцатого деления по шкале и аккуратно погружают мензурку с жидкостью в воду. Мензурка плавает, при этом уровень неизвестной жидкости оказывается вровень с уровнем воды (на рисунке слева). Если теперь в мензурку долить такой же объём жидкости, что и в первом случае, то мензурка не утонет, а уровень неизвестной жидкости окажется на три деления выше уровня воды (на рисунке справа). Полагая, что плотность воды и ускорение свободного падения равны \(\rho = 1{,}0\text{ г/см}^3\) и \(g = 10\text{ м/с}^2\), определите следующие величины.

1. Плотность неизвестной жидкости.

2. Плотность стекла, из которого изготовлена мензурка.

В распоряжении школьника имеются рычажные весы, предназначенные для измерения массы с точностью до 10 мг, три гири массой: 100 г, 20 г и 5 г, пластиковый кубик и линейка. Длины сторон кубика измерили линейкой и определили его объём, получилось значение \(V = 100\text{ см}^3 \pm 5\text{ см}^3\). Считается, что чашечные весы, измеряющие массу с точностью 10 мг, уравновешены, если разность масс тел, находящихся на чашах, меньше 10 мг. Предполагается, что массы гирь определены с очень высокой точностью.

С помощью данного оборудования школьник определил среднюю плотность кубика с максимально возможной точностью, а после рассчитал относительную погрешность полученного результата. Какое наименьшее и наибольшее значение относительной погрешности он мог получить, если известно, что масса кубика точно больше 100 г, но меньше 125 г?

Указание. Если в результате измерений удалось определить, что измеряемая величина \(x\) лежит в пределах диапазона: \(x_{\min} < x < x_{\max}\), то относительная погрешность измерения может быть оценена по формуле \[\delta x = \frac{x_{\max} - x_{\min}}{x_{\max} + x_{\min}}.\]

Цилиндрический сосуд с нанесённой на боковую поверхность мерной шкалой частично заполнен водой, в которой плавает выпуклая пластиковая игрушка. В сосуд начинают добавлять масло, которое течёт тонкой струйкой с постоянной скоростью \(\mu\), измеряемой в мл/с.

Каждую минуту с помощью мерной шкалы определяют два значения объёма, соответствующие положению уровня поверхности воды и масла. Результаты измерений показаны на графике, представленном ниже. В процессе эксперимента жидкости не смешиваются.

Маркеры одной формы (кружки или крестики) соответствуют одной из жидкостей. Плотность воды равна \(1\text{ г/см}^3\), плотность масла меньше плотности воды.

1. (2 балла) Чему равна скорость \(\mu\)?

2. (6 баллов) Определите плотность масла.