Плавление кусочков льда

Запишите уравнения теплового баланса для первой и второй порций льда и вычтите одно из другого, чтобы найти массу порции; температура станет отрицательной, когда тепла не хватит на нагрев льда до температуры плавления.

1) \(\lambda = c_w\left(\dfrac{2(t_1 - t_2)(t_w - t_1)}{t_w - 2t_1 + t_2} - (t_1 - t_0)\right) - c_i(t_0 - t_i) \approx 412\) кДж/кг;  2) \(N > \dfrac{2(t_1 - t_2)(c_w(t_w - t_0) + \lambda)}{(t_2 - 2t_1 + t_2)c_i(t_0 - t_i)} \approx 136{,}5\), то есть \(N = 137\).

Пусть \(t_0 = 0^\circ\)C — температура плавления льда, \(M\) — начальная масса воды, \(m\) — масса десяти кусочков льда, тогда уравнения теплового баланса для первой и второй порций кусочков льда имеют соответственно вид \[m(c_i(t_0 - t_i) + \lambda + c_w(t_1 - t_0)) = Mc_w(t_w - t_1),\] \[m(c_i(t_0 - t_i) + \lambda + c_w(t_2 - t_0)) = (M + m)c_w(t_1 - t_2).\] Вычитая из первого равенства второе, получаем уравнение \[mc_w(t_1 - t_2) = Mc_w(t_w - 2t_1 + t_2) - mc_w(t_1 - t_2),\] откуда выражаем массу одной порции кусочков льда: \[m = \dfrac{t_w - 2t_1 + t_2}{2(t_1 - t_2)}\cdot M.\] Подставляя выражение для \(m\) в первое уравнение теплового баланса, находим искомую удельную теплоту плавления льда: \[\lambda = c_w\left(\dfrac{2(t_1 - t_2)(t_w - t_1)}{t_w - 2t_1 + t_2} - (t_1 - t_0)\right) - c_i(t_0 - t_i) \approx 412\text{ кДж/кг}.\] Чтобы температура содержимого калориметра стала отрицательной, теплоты, выделяющейся при остывании и кристаллизации воды, должно не хватить для нагревания \(N\) порций кусочков льда до температуры плавления. Соответствующее «неравенство теплового баланса» имеет вид \[Nmc_i(t_0 - t_i) > M(c_w(t_w - t_0) + \lambda),\] откуда после подстановки выражения для \(m\) находим \[N > \dfrac{2(t_1 - t_2)(c_w(t_w - t_0) + \lambda)}{(t_2 - 2t_1 + t_2)c_i(t_0 - t_i)} \approx 136{,}5.\] Количество порций должно быть целым, поэтому \(N = 137\).

Примечание. В реальном эксперименте было бы непросто обеспечить отсутствие теплообмена с окружающей средой при таком большом значении \(N\) (из-за длительности процесса и постоянных открываний калориметра), однако учитывать теплопотери по условию задачи не требовалось.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.