Бочка мёда

Запишите высоту центра масс системы как функцию уровня мёда в бочке; в момент наименьшей скорости центр масс находится на уровне мёда.

1) \(v_0 = \dfrac{\mu H}{2m} = 8\) мм/с;  2) \(t_0 = \dfrac{m}{\mu}\left(\sqrt{1 + \dfrac{M}{m}} - 1\right) = 125\) с.

Выразив массу мёда в бочке двумя способами (через его уровень \(h\) и через момент времени \(t\)) и приравняв эти выражения, получаем связь между \(h\) и \(t\), которая пригодится для ответов на оба вопроса: \[M\dfrac{h}{H} = \mu t. \tag{1}\] Высота \(x\) центра масс системы «бочка и мёд» над уровнем дна имеет вид \[x = \dfrac{m\cdot\dfrac{H}{2} + M\dfrac{h}{H}\cdot\dfrac{h}{2}}{m + M\dfrac{h}{H}} = \dfrac{mH^2 + Mh^2}{2(mH + Mh)}. \tag{2}\] После дифференцирования зависимости (2) и упрощения получаем \[x'(h) = \dfrac{M^2h^2 + 2MmHh - MmH^2}{2(mH + Mh)^2}. \tag{3}\] Примечание. Пользуясь случаем, мы лишний раз напоминаем участникам, что в целях подстраховки от случайных ошибок при решении задач на олимпиадах полезно проверять ключевые промежуточные формулы не только по размерности, но и на очевидные частные случаи. Например, формула (2) даёт \(x = H/2\) при \(m \gg M\) и \(x = h/2\) при \(M \gg m\), что полностью согласуется с ожиданиями. Не нужно тратить время на полный анализ каждой формулы, а достаточно регулярно делать хотя бы подобные простейшие проверки, чтобы уже этим существенно повысить надёжность своих расчётов.

Начальная скорость. Рассмотрим малый промежуток времени \(\Delta t\) сразу после начала заполнения бочки, тогда из связи (1) получаем соотношение \[\Delta h = \dfrac{\mu H}{M}\cdot\Delta t,\] а из формулы (3) при \(h = 0\) находим отношение приращений \[\dfrac{\Delta x}{\Delta h} = x'(0) = -\dfrac{M}{2m}.\] Отсюда получаем искомую начальную скорость: \[v_0 = \left|\dfrac{\Delta x}{\Delta t}\right| = \dfrac{\mu H}{2m} = 8\text{ мм/с}.\] Минимальная скорость. Из здравого смысла и формулы (2) следует, что высоты центров масс пустой и полной бочки с мёдом одинаковы и равны \(H/2\), а в случае частичного заполнения — меньше \(H/2\). Поэтому существует минимальное значение \(x\), при котором скорость центра масс обращается в ноль, то есть заведомо минимальна по модулю. Для ответа на вопрос о времени \(t_0\) нужно знать значение \(h\) в этот момент, а искать его можно разными способами.

Первый способ. Для поиска экстремума \(x(h)\) приравняем производную \(x'(h)\) из формулы (3) к нулю и придём к уравнению \[Mh^2 + 2mHh - mH^2 = 0, \tag{4}\] которое имеет единственный положительный корень: \[h = \dfrac{m}{M}\left(\sqrt{1 + \dfrac{M}{m}} - 1\right)H.\] Второй способ. По мере наполнения бочки центр масс системы сперва опускается, а затем поднимается, то есть он проходит дважды каждое положение за исключением самого нижнего. Рассмотрим полученную в формуле (2) зависимость \(x(h)\) как уравнение относительно \(h\): \[Mh^2 - 2Mxh + mH(H - 2x) = 0. \tag{5}\] Это квадратное уравнение, имеющее единственный корень лишь при определённом значении \(x\), которое и будет минимальным. Приравняв дискриминант уравнения (5) к нулю, получаем очередное уравнение \[Mx^2 + 2mHx - mH^2 = 0, \tag{6}\] которое имеет единственный положительный корень: \[x = \dfrac{m}{M}\left(\sqrt{1 + \dfrac{M}{m}} - 1\right)H. \tag{7}\] Выразим через \(x\) корни уравнения (5) относительно \(h\): \[h_{1,2} = \dfrac{Mx \pm \sqrt{M^2x^2 + 2MmHx - MmH^2}}{M}. \tag{8}\] При найденном значении \(x\) подкоренное выражение в формуле (8) равно нулю, так как это было условием при поиске \(x\), поэтому результат упрощается: \[h = x = \dfrac{m}{M}\left(\sqrt{1 + \dfrac{M}{m}} - 1\right)H.\] Третий способ. По мере роста \(h\) от \(0\) до \(H\) обязательно наступит момент, когда \(h\) окажется равно \(x\), причём в этот момент любое изменение количества мёда будет приводить к повышению уровня центра масс, так как добавление мёда — это увеличение массы выше центра масс, а удаление мёда — это уменьшение массы ниже центра масс. Следовательно, минимум \(x\) наблюдается при \(x = h\). Подстановка \(x = h\) в формулу (2) приводит к уравнению \[Mh^2 + 2mHh - mH^2 = 0,\] которое имеет единственный положительный корень: \[h = \dfrac{m}{M}\left(\sqrt{1 + \dfrac{M}{m}} - 1\right)H.\] Таким образом, именно физически обоснованное равенство \(x = h\) является причиной того, что разные способы расчёта приводили к уравнениям (4) и (6), различающимся только обозначением искомой величины.

Завершение расчёта. Используя значение \(h\), найденное любым способом, выразим из формулы (1) искомое время: \[t_0 = \dfrac{Mh}{\mu H} = \dfrac{m}{\mu}\left(\sqrt{1 + \dfrac{M}{m}} - 1\right) = 125\text{ с}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.