Колебания собаки

Отношение пути собаки к суммарному пути супругов за один «период колебаний» не зависит от начального расстояния, значит, оно такое же и за всё время движения.

\(S = \dfrac{2c_1c_2 + v_1(c_1 - c_2)}{(c_1 + c_2)(v_1 + v_2)}\cdot L\).

Пусть \(t_1\) — длительность первой пробежки собаки вниз от хозяина к хозяйке, а \(S_1\) — путь собаки за это время, тогда \[t_1 = \dfrac{L}{c_1 + v_2},\qquad S_1 = c_1t_1 = \dfrac{c_1L}{c_1 + v_2}.\] Пусть \(t_2\) — длительность первой пробежки собаки вверх от хозяйки к хозяину, а \(S_2\) — путь собаки за это время, тогда \[t_2 = \dfrac{L - (v_1 + v_2)t_1}{c_2 + v_1} = \dfrac{c_1 - v_1}{c_1 + v_2}\cdot\dfrac{L}{c_2 + v_1},\qquad S_2 = c_2t_2 = \dfrac{c_1 - v_1}{c_1 + v_2}\cdot\dfrac{c_2L}{c_2 + v_1}.\] Запишем путь \(S_{12}\) собаки и величину \(x_{12}\) сближения супругов в сумме за эти два промежутка времени: \[S_{12} = S_1 + S_2 = \dfrac{2c_1c_2 + v_1(c_1 - c_2)}{(c_1 + v_2)(c_2 + v_1)}\cdot L,\] \[x_{12} = (v_1 + v_2)(t_1 + t_2) = \dfrac{(c_1 + c_2)(v_1 + v_2)}{(c_1 + v_2)(c_2 + v_1)}\cdot L.\] Отношение пути собаки к суммарному пути супругов за один «период колебаний» собаки не зависит от \(L\), поэтому отношение пути собаки к суммарному пути супругов за всё время движения будет равно той же величине. Таким образом, из пропорции \[\dfrac{S_{12}}{x_{12}} = \dfrac{S}{L}\] находим искомый путь: \[S = \dfrac{2c_1c_2 + v_1(c_1 - c_2)}{(c_1 + c_2)(v_1 + v_2)}\cdot L.\] Примечание. Искомый путь \(S\) можно найти и более формальным способом: как сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии, которую образуют пути собаки за каждый её «период колебаний».

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.