Колебания

Сначала найдите, в каком положении равновесия возвращающая сила создаётся только электрическим полем чаши, и какой знак у заряда \(q_2\) для этого нужен. Затем выразите квадраты частот через \(\omega_0^2 = g/l\) для обоих положений.

Поле внутри равномерно заряженной сферы равно нулю. Поле в точке \(A\) складывается из полей верхней и нижней половин сферы, \(\vec E = \vec E_1 + \vec E_2 = 0\) (1). Для точки \(B\), симметричной \(A\) относительно центра, поле нижней половины в \(A\) по модулю и направлению противоположно полю верхней половины в \(B\), поэтому напряжённости полусферы в симметричных относительно её центра точках равны по модулю.

Проведём плоскость, перпендикулярную нити и проходящую через левый край сферы. Часть полусферы, лежащая по одну сторону от неё, создаёт поле, параллельное нити; перпендикулярную нити составляющую создаёт только оставшаяся часть. Большая часть заряда этой части расположена дальше от точки \(A\), поэтому составляющая направлена в сторону смещения маятника.

После изменения заряда положение равновесия должно лежать выше точки подвеса, иначе равенство старого и нового периодов невозможно. В таком положении при смещении шарика возвращающая сила может возникнуть только за счёт электрического взаимодействия, поэтому \(q_2 > 0\) при \(q_1 > 0\) (рис. 23).

В нижней точке при малом угле отклонения \(\varphi\) возвращающая сила \(f_1 = (\alpha q_1 - mg)\varphi\), в верхней точке \(f_2 = (-\alpha q_2 + mg)\varphi\). Уравнения колебаний: \[ml\ddot\varphi + (mg - \alpha q_1)\varphi = 0 \quad\text{(нижняя точка)}, \qquad ml\ddot\varphi + (\alpha q_2 - mg)\varphi = 0 \quad\text{(верхняя точка)}.\] Квадраты частот: \(\omega_1^2 = \omega_0^2 - \beta q_1\), \(\omega_2^2 = -\omega_0^2 + \beta q_2\), где \(\omega_0^2 = g/l\), \(\beta = \alpha/(ml)\).

Случай 1: \(q_1 > 0\), \(q_2 = 2q_1\). Из \(\omega_1 = \omega_2\) получаем \(\beta q_1 = \frac{2}{3}\omega_0^2\), отсюда \(\omega^2 = \frac{1}{3}\omega_0^2\) и \(T = T_0\sqrt{3} = 1{,}73\) с.

Случай 2: \(q_1 < 0\), \(q_2 = -2q_1\). Тогда \(\beta q_1 = -2\omega_0^2\), \(\omega^2 = 3\omega_0^2\) и \(T = T_0/\sqrt{3} = 0{,}58\) с.