Маятник в шахте

Из формулы для периода математического маятника \(T = 2\pi\sqrt{l/g}\), где \(l\) — длина маятника, \(g\) — ускорение свободного падения на поверхности Земли, находим связь между малыми изменениями \(\Delta T\) и \(\Delta g\): \[\dfrac{\Delta T}{T} = -\dfrac12\cdot\dfrac{\Delta g}{g},\qquad\text{откуда}\qquad \dfrac{\Delta g}{g} = 2\delta.\qquad (146)\] Знак минус был убран, так как по условию \(\delta > 0\) — это относительное уменьшение (а не увеличение) периода. Отсюда, кстати, видно, что вопреки распространённому мнению сила тяжести возрастает при опускании в шахту небольшой глубины.

Масса Земли \(M = \rho_0\cdot4\pi R^3/3\), масса слоя земной коры толщиной \(h\) от поверхности \(\Delta M \approx \rho\cdot4\pi R^2h\). Из закона всемирного тяготения выразим \[\dfrac{\Delta g}{g} = \dfrac{\dfrac{\gamma(M - \Delta M)}{(R - h)^2} - \dfrac{\gamma M}{R^2}}{\dfrac{\gamma M}{R^2}} = \left(1 - \dfrac{\Delta M}{M}\right)\left(1 - \dfrac{h}{R}\right)^{-2} - 1 \approx\] \[\approx \left(1 - \dfrac{3\rho h}{\rho_0R}\right)\left(1 + \dfrac{2h}{R}\right) - 1 \approx -\dfrac{3\rho h}{\rho_0R} + \dfrac{2h}{R}.\qquad (147)\] Подставив выражение (147) в формулу (146), получим \[\rho = \dfrac23\,\rho_0\left(1 - \delta\dfrac{R}{h}\right) \approx 0{,}453\rho_0 \approx 2540\text{ кг/м}^3,\] что полностью согласуется с результатами прямых измерений плотности.