Жидкость в кольцевой трубке

Полный объём трубки равен \(\pi R^2L\). Поскольку целому кольцу соответствует угол \(2\pi\), то его части, занятой жидкостью, соответствует пропорционально меньший угол \[\varphi = 2\pi\dfrac{V}{\pi R^2L} = \dfrac{2V}{R^2L}.\] В положении равновесия верхний уровень жидкости находится в наклонной части трубки (см. рисунок), причём угол наклона трубки к горизонту в этом месте равен \[\alpha = \pi - \dfrac{\varphi}{2} = \pi - \dfrac{V}{R^2L}.\] Таким образом, наша задача свелась к известной задаче о колебаниях жидкости в U-образной трубке с наклонными коленами.

Обозначим длину столба жидкости в трубке через \(l\), площадь поперечного сечения трубки — через \(S\), плотность жидкости — через \(\rho\). Пусть жидкость сместилась вдоль трубки на малое расстояние \(x\) от положения равновесия. Тогда потенциальная энергия жидкости увеличится по сравнению с потенциальной энергией в положении равновесия на величину \(U = \rho gS\sin\alpha\cdot x^2\). Кинетическая же энергия жидкости, движущейся в трубке со скоростью \(v = \dfrac{dx}{dt}\), равна \(W = \dfrac{\rho Sl}{2}v^2\). Следовательно, данная система может совершать гармонические колебания, причём квадрат их круговой частоты равен отношению коэффициентов при \(x^2\) в выражении для \(U\) и при \(v^2\) в выражении для \(W\), то есть \(\omega^2 = \dfrac{2g\sin\alpha}{l}\). Учитывая, что \(l = \dfrac{V}{\pi R^2}\), и подставляя найденное выше выражение для \(\alpha\), получаем период малых колебаний жидкости в трубке: \[T = \dfrac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\dfrac{l}{2g\sin\alpha}} = \sqrt{\dfrac{2\pi V}{gR^2\sin\left(\dfrac{V}{R^2L}\right)}}.\]