Реакция возбуждённых молекул

При указанных в условии задачи температуре, молярной массе и давлении молекулы движутся со средними скоростями \(v \sim \sqrt{3RT/\mu} \approx 337\) м/с. Значит, за время своей жизни \(\tau\) возбуждённая молекула пролетает расстояние \(L = v\tau \approx 3{,}4\cdot 10^{-1}\) м. Объём, в котором летящая молекула может за это время столкнуться с другими молекулами, по порядку величины равен \(V \approx 4LS\). Концентрация невозбуждённых молекул в сосуде перед началом освещения равна \[n = \dfrac{p_0N_A}{RT} \approx 2{,}7\cdot 10^{22}\text{ м}^{-3}.\] Концентрация же возбуждённых молекул составляет \[n_{\text{в}} = \tau N\cdot 10^6 \approx 10^{15}\text{ м}^{-3}.\] Одна возбуждённая молекула за своё время жизни \(\tau\) могла бы столкнуться с другими возбуждёнными молекулами \(\nu_1\) раз, причём \(\nu_1 = Vn_{\text{в}} = 4v\tau Sn_{\text{в}}\). Значит, всего за это время в одном кубическом метре происходит \[\nu = \nu_1n_{\text{в}}/2 = 2v\tau Sn_{\text{в}}^2 \approx 0{,}68\cdot 10^{11}\text{ м}^{-3}\] столкновений между возбуждёнными молекулами. Коэффициент \(1/2\) появляется в последней формуле из-за того, что столкновения парные, то есть в каждом участвуют две молекулы. При каждом таком столкновении одна молекула исчезает, то есть скорость убывания концентрации \[\beta = \dfrac{\nu}{\tau} = 2vSn_{\text{в}}^2 \approx 6{,}8\cdot 10^{13}\ \dfrac{1}{\text{м}^3\cdot\text{с}}.\] Давление в сосуде уменьшится на \(\varepsilon = 1\%\) тогда, когда на такую же величину уменьшится концентрация молекул \(n\). Это произойдёт через время \(t = \varepsilon n/\beta\). С учётом полученных выше выражений для \(n\), \(n_{\text{в}}\), \(\beta\) и \(v\), окончательно находим: \[t = \dfrac{\varepsilon n}{\beta} = \dfrac{\varepsilon\dfrac{p_0N_A}{RT}}{2\sqrt{3RT/\mu}\cdot S\tau^2N^2\cdot 10^{12}} =\] \[= \dfrac{\varepsilon p_0N_A\sqrt{\mu}}{2\cdot 10^{12}\cdot\tau^2N^2S\sqrt{3R^3T^3}} \approx 4\cdot 10^6\text{ с} \approx 46\text{ суток}.\] Следует отметить, что ответ носит оценочный характер, то есть время вычислено по порядку величины. Это связано с тем, что в расчётах более правильно использовать не среднюю, а среднюю относительную скорость движения молекул. Однако ввиду того, что эти скорости отличаются друг от друга не очень сильно (примерно в 1,4 раза), полученную оценку можно считать вполне удовлетворительной.