Пластинка-трапеция

Луч света, попав в пластинку, несколько раз отразится от её посеребрённых боковых поверхностей, после чего попадёт на малое основание пластинки. Луч пройдёт через него только в том случае, если угол падения света не превысит угол полного внутреннего отражения, величина которого даётся формулой \(\sin\beta_{\max} = 1/n\).

Для того, чтобы было проще рассматривать отражения от боковых поверхностей, воспользуемся следующим приёмом, который позволяет заменить распространение света с многократными отражениями на прямолинейное. Последовательно отразим несколько раз пластинку относительно её боковой поверхности, на которой происходит очередное отражение света, и представим, что луч проходит эту боковую поверхность насквозь (см. рисунок). Будем продолжать эту процедуру до тех пор, пока луч не упрётся в малое основание после очередного «отражения» пластинки. Фактически это выглядит так, как будто мы отражаем пластинку вместе с идущим в ней лучом. При этом величина угла падения света на малое основание после последнего «отражения» пластинки будет совпадать с величиной угла падения на основание реальной пластинки.

Теперь можно приступить к определению угла \(\alpha\). Введём обозначения так, как это показано на рисунке, и применим к треугольнику \(ABO\) теорему синусов: \(\dfrac{\sin\theta}{R - L} = \dfrac{\sin(\pi - \beta)}{R}\). Отсюда, учитывая, что \(R = \dfrac{D}{2\sin(\varphi/2)}\), получим: \[\sin\theta_{\max} = \left(1 - \dfrac{L}{R}\right)\sin\beta_{\max} = \dfrac{1}{n}\left(1 - \dfrac{2L}{D}\sin\dfrac{\varphi}{2}\right).\] Интересующий нас угол определяется из соотношения \(\sin\alpha_{\max} = n\sin\theta_{\max}\), откуда, с учётом малости угла \(\varphi\), окончательно найдём: \[\sin\alpha_{\max} \approx \left(1 - \dfrac{L\varphi}{D}\right).\] Следовательно, луч света пройдёт через пластинку при углах падения на её основание \[\alpha \leqslant \alpha_{\max} \approx \arcsin\left(1 - \dfrac{L\varphi}{D}\right).\]