Ромб из стержней

Для удобства рассмотрения пронумеруем вершины ромба так, как показано на рисунке.

Поскольку характер движения вершин 2 и 4 одинаков, будем рассматривать только вершину 2.

В момент времени, когда ромб превратится в квадрат, двигающаяся с ускорением \(a\) вершина 3 будет иметь скорость \(v\). К этому моменту времени вершина 2 сместится в направлении движения вершины 3 на вдвое меньшее расстояние, чем прошла вершина 3. Значит, проекции скорости и ускорения вершины 2 на направление движения вершины 3 будут равны \(v/2\) и \(a/2\) соответственно. К рассматриваемому моменту времени вершина 3 пройдёт путь \(S = L\sqrt{2}\). Поэтому \[v = \sqrt{2aS} = \sqrt{2aL\sqrt{2}} = 2^{3/4}\sqrt{aL}.\] Так как стержни жёсткие, то вершина 2 всё время движется по окружности радиусом \(L\) с центром в вершине 1. Поэтому скорость \(u\) вершины 2 направлена по касательной к этой окружности, то есть в рассматриваемый момент времени направлена вдоль стержня, соединяющего вершины 2 и 3. Следовательно, можно записать \[u = \dfrac{v/2}{\cos(\pi/4)} = \dfrac{v}{\sqrt{2}} = 2^{1/4}\sqrt{aL}.\] Проекция ускорения вершины 2 на направление стержня, соединяющего её с вершиной 1, есть центростремительное ускорение, равное \(u^2/L = a\sqrt{2}\).

Мы нашли проекции ускорения вершины 2 на два различных направления. Полное ускорение можно найти, нарисовав соответствующим образом направленные векторы компонент ускорения, имеющие длины \(a/2\) и \(a\sqrt{2}\), и восставив перпендикуляры к ним. Точка пересечения этих перпендикуляров позволит определить направление и величину вектора ускорения вершины 2. Чертёж удобно построить следующим образом. Выберем масштаб так, чтобы вектор \(a/2\) на чертеже имел длину, равную четверти диагонали нашего квадрата. Тогда вектор \(a\sqrt{2}\) будет иметь длину, равную стороне квадрата. Из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора получаем: \[w = \sqrt{\left(a\sqrt{2}\right)^2 + \left(a\sqrt{2} + \dfrac{a}{\sqrt{2}}\right)^2} = a\sqrt{\dfrac{13}{2}}.\]