Космический объект

Выразите период приёма через угол \(\varphi\) между направлением движения объекта и направлением на наблюдателя, затем найдите изменение этого периода при малом повороте направления на \(\Delta\varphi\).

При угле \(\varphi\) между направлением движения объекта и направлением к наблюдателю импульсы, посланные через время \(T_0\), принимаются через промежуток \(T = T_0\bigl(1 + \frac{v}{c}\cos\varphi\bigr)\). Действительно, второй импульс испускается из точки, смещённой на \(vT_0\), и путь к наблюдателю короче на \(vT_0\cos\varphi\), что даёт дополнительное время \((vT_0\cos\varphi)/c\). Пока угол \(\varphi\) можно считать постоянным, для интервалов испускания \(\Delta t_0\) и приёма \(\Delta t\) выполняется \(\Delta t = \Delta t_0\bigl(1 + \frac{v}{c}\cos\varphi\bigr)\).

Изменение периода приёма при повороте направления на наблюдателя на \(\Delta\varphi\): \[\Delta T = \left|\frac{dT}{d\varphi}\right|\Delta\varphi = T_0\,\frac{v}{c}\sin\varphi\,\Delta\varphi,\] где \(v\sin\varphi\) — составляющая скорости, перпендикулярная радиус-вектору до объекта.

За время наблюдения \(\Delta t\) угол меняется на \(\Delta\varphi = v\,\Delta t_0\sin\varphi / r\), где \(r\) — искомое расстояние. Исключая скорость из выражения для \(\Delta T\), получим \(\Delta T = T_0(\Delta\varphi)^2 r / (c\,\Delta t_0)\). Поскольку \(T_0/T = \Delta t_0/\Delta t\), окончательно \[r = \frac{c\,\Delta T\,\Delta t}{T\,(\Delta\varphi)^2}.\] Рассмотрение проведено в системе отсчёта наблюдателя, поэтому результат применим и при произвольных скоростях объекта, а не только при \(v \ll c\).