Релятивистская поправка для спутника GPS

Подсказка

Собственное ускорение постоянно, поэтому в каждой мгновенной собственной системе частица ускоряется одинаково: «быстрота» \(\operatorname{Arth}\beta\) растёт пропорционально собственному времени \(\tau\), а мировая линия — гипербола \((x+c^2/g)^2-(ct)^2=(c^2/g)^2\). Все остальные части — геометрия этой гиперболы; общерелятивистская поправка получается из части E по принципу эквивалентности и складывается с замедлением из-за скорости.

Ответ

A.1) \(a=\dfrac{F}{\gamma^3m}\);  A.2) \(\beta=\dfrac{Ft/(mc)}{\sqrt{1+(Ft/mc)^2}}\);  A.3) \(x=\dfrac{mc^2}{F}\left(\sqrt{1+\left(\dfrac{Ft}{mc}\right)^2}-1\right)\);  A.4) \(a'=F/m=g\);  A.5) \(\beta=\tanh\dfrac{g\tau}{c}\);  A.6) \(t=\dfrac{c}{g}\sinh\dfrac{g\tau}{c}\);  B.1) \(t_0=\dfrac{c}{g}\left(1-e^{-g\tau/c}\right)\to\dfrac{c}{g}\);  B.2) \(\tau_0=\dfrac{c}{g}\ln\left(1+\dfrac{gt}{c}\right)\), предела нет;  C.1) \(L\sqrt{1-\beta^2}\);  C.2) гипербола \(x=\dfrac{c^2}{g}\left(\sqrt{1+(gt/c)^2}-1\right)\), при \(gt/c=1\): \(x=(\sqrt2-1)c^2/g\), ось \(ct'\) — касательная (наклон \(1/\beta=\sqrt2\)), ось \(x'\) — прямая с наклоном \(\beta=1/\sqrt2\) через \((-c^2/g;0)\);  D.1) \(\tau_B=\tau_A\);  D.2) \(C_1=gL/c^2\);  D.3) \(C_2=gL/c\);  E.1) \(x_p=-c^2/g_1\);  E.2) \(g_2=\dfrac{g_1}{1+g_1L/c^2}\);  E.3) \(\dfrac{d\tau_2}{d\tau_1}=\dfrac{g_1}{g_2}=1+\dfrac{g_1L}{c^2}\);  F.1) \(r=\left(\dfrac{gR^2T^2}{4\pi^2}\right)^{1/3}\approx2{,}66\cdot10^7\) м, \(v=\dfrac{2\pi r}{T}\approx3{,}87\cdot10^3\) м/с;  F.2) общерелятивистский эффект \(+4{,}55\cdot10^{-5}\) с, специальный \(-7{,}18\cdot10^{-6}\) с, всего \(+3{,}83\cdot10^{-5}\) с в сутки, часы спутника идут быстрее;  F.3) \(c\,\Delta\tau\approx1{,}15\cdot10^4\) м \(\approx11{,}5\) км.

Решение

Что происходит. Постоянная сила разгоняет частицу всё слабее: чем ближе скорость к \(c\), тем меньше ускорение (A.1). Удобно смотреть на частицу из всё новых мгновенных собственных систем: в каждой из них она на мгновение покоится, и её ускорение равно \(g=F/m\) — собственное ускорение постоянно (A.4). Поэтому «быстрота» \(\psi=\operatorname{Arth}\beta\) растёт линейно с собственным временем, \(\psi=g\tau/c\), а мировая линия частицы на диаграмме Минковского — гипербола \((x+c^2/g)^2-(ct)^2=(c^2/g)^2\). Дальше все части — геометрия этой гиперболы: сигналы идут под углом \(45^\circ\) (часть B), оси \(x'\) и \(ct'\) — касательная и её «зеркало» относительно светового луча (часть C), две частицы лежат на двух гиперболах (части D, E). Из части E по принципу эквивалентности получается сдвиг темпа часов в поле тяжести, который вместе с замедлением из-за скорости даёт поправку GPS (часть F).

Обозначения. Ось \(x\) направлена вдоль силы, начало отсчёта — начальное положение частицы. \(t\) и \(x\) — время и координата в покоящейся системе \(S\), \(\tau\) — время по часам частицы, \(\beta=v/c\), \(\gamma=1/\sqrt{1-\beta^2}\), \(g=F/m\). Безразмерное собственное время («быстрота») \(\psi=g\tau/c\); буква \(\theta\) остаётся за углом между осями на диаграмме Минковского (\(\operatorname{tg}\theta=\beta\)). Удобная единица длины и времени (\(ct\)) — \(c^2/g\).

A.1. Релятивистский второй закон Ньютона: сила равна скорости изменения импульса \(p=\gamma mv=mv/\sqrt{1-v^2/c^2}\). При движении по прямой \[\frac{dp}{dv}=m\left[\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}+\frac{\beta^2}{(1-\beta^2)^{3/2}}\right]=\frac{m}{(1-\beta^2)^{3/2}}=\gamma^3m,\] поэтому \(F=\dfrac{dp}{dt}=\gamma^3m\,a\) и \[a=\frac{F}{\gamma^3m}.\] Проверка: при \(v\ll c\) (\(\gamma\to1\)) получаем \(a=F/m\); при \(v\to c\) ускорение стремится к нулю — скорость света недостижима.

A.2. Сила постоянна, а вначале \(p=0\), поэтому \(p=Ft\): \[\frac{mv}{\sqrt{1-\beta^2}}=Ft\;\Rightarrow\;\frac{\beta}{\sqrt{1-\beta^2}}=\frac{Ft}{mc}\equiv T .\] Возводим в квадрат: \(\beta^2=T^2(1-\beta^2)\), откуда \[\beta=\frac{T}{\sqrt{1+T^2}}=\frac{Ft/(mc)}{\sqrt{1+(Ft/mc)^2}} .\] Заодно \(\gamma^2=1/(1-\beta^2)=1+T^2\). При \(t\to\infty\) скорость стремится к \(c\) (рис. 3).

Рис. 3. Скорость частицы под действием постоянной силы: релятивистская зависимость (бирюзовая) и ньютоновская \(\beta=gt/c\) (пунктир); горизонтальный пунктир — \(\beta=1\).

A.3. Работа силы \(F\,dx\) идёт на приращение полной энергии \(\gamma mc^2\), поэтому \(\gamma mc^2-mc^2=Fx\): \[x=\frac{mc^2}{F}\,(\gamma-1)=\frac{mc^2}{F}\left(\sqrt{1+\left(\frac{Ft}{mc}\right)^2}-1\right).\] Проверка: при \(Ft\ll mc\) раскладываем корень: \(x\approx\dfrac{Ft^2}{2m}\) — равноускоренное движение.

A.4. Пусть система \(S'\) движется относительно \(S\) со скоростью \(u\) вдоль оси \(x\), а частица движется в \(S'\) со скоростью \(v'\). По релятивистскому закону сложения скоростей её скорость в \(S\) \[v=\frac{u+v'}{1+uv'/c^2}.\] Выберем \(S'\) мгновенной собственной системой: \(u\) равно скорости частицы в этот момент, и в \(S'\) частица покоится, \(v'=0\). За малое время её скорость в \(S'\) меняется на \(dv'\), а в \(S\) — на \[dv=\left.\frac{\partial v}{\partial v'}\right|_{v'=0}dv'=\left(1-\frac{u^2}{c^2}\right)dv'=\frac{dv'}{\gamma^2}\] (\(\gamma\) здесь вычислено по скорости \(u=v\)). Промежуток времени по преобразованию Лоренца \(dt=\gamma\,(dt'+u\,dx'/c^2)\), а в \(S'\) частица покоится (\(dx'=0\)), поэтому \(dt=\gamma\,dt'\). Отсюда \[a=\frac{dv}{dt}=\frac{1}{\gamma^3}\cdot\frac{dv'}{dt'}=\frac{a'}{\gamma^3}.\] Сравнивая с A.1, \(a=F/(\gamma^3m)\), получаем \[a'=\frac{F}{m}=g=\text{const}.\]

A.5. Подставим \(a=c\,\dfrac{d\beta}{dt}=\dfrac{g}{\gamma^3}\) и \(dt=\gamma\,d\tau\) (время в \(S\) и по часам частицы): \[c\,\frac{d\beta}{d\tau}=\frac{g}{\gamma^2}=g\,(1-\beta^2)\;\Rightarrow\;\int_0^\beta\frac{d\beta}{1-\beta^2}=\frac{g}{c}\int_0^\tau d\tau\;\Rightarrow\;\ln\sqrt{\frac{1+\beta}{1-\beta}}=\frac{g\tau}{c}.\] Отсюда \(\dfrac{1+\beta}{1-\beta}=e^{2g\tau/c}\) и \[\beta=\frac{e^{g\tau/c}-e^{-g\tau/c}}{e^{g\tau/c}+e^{-g\tau/c}}=\tanh\frac{g\tau}{c}.\] Смысл: \(\psi=g\tau/c\) — «быстрота» (\(\beta=\tanh\psi\)), она растёт линейно со временем частицы, потому что приращения быстроты складываются.

A.6. Из \(\beta=\tanh\psi\) получаем \(\gamma=1/\sqrt{1-\tanh^2\psi}=\cosh\psi\). Тогда \(dt=\gamma\,d\tau=\cosh\dfrac{g\tau}{c}\,d\tau\) и \[t=\frac{c}{g}\sinh\frac{g\tau}{c}.\] Координата из A.3 через \(\tau\): \(x=\dfrac{c^2}{g}\left(\cosh\dfrac{g\tau}{c}-1\right)\). Исключая \(\tau\), получаем гиперболу \[\left(x+\frac{c^2}{g}\right)^2-(ct)^2=\left(\frac{c^2}{g}\right)^2 .\] Проверка: из A.2 с \(T=gt/c=\sinh\psi\) следует \(\beta=\sinh\psi/\sqrt{1+\sinh^2\psi}=\tanh\psi\) — совпадает с A.5; при \(\psi\ll1\) получаем \(t\approx\tau\) — время частицы мало отличается от времени в \(S\).

B.1. Пусть часы в начале координат показывали \(t_0\), когда сигнал с их показанием вышел. Он идёт со скоростью \(c\) и догоняет частицу в момент \(t\), когда частица находится в точке \(x(t)\) (рис. 4): \[c\,(t-t_0)=x(t)\;\Rightarrow\;t_0=t-\frac{x}{c}=\frac{c}{g}\bigl[\sinh\psi-(\cosh\psi-1)\bigr]=\frac{c}{g}\left(1-e^{-g\tau/c}\right).\] При \(\tau\to\infty\) показание стремится к значению \(t_0\to c/g\) и «замерзает»: сигналы, вышедшие позже \(t_0=c/g\), до частицы не доходят — частица уходит от них вперёд. На диаграмме это световой луч \(ct=x+c^2/g\) — асимптота гиперболы.

Рис. 4. Сигналы между началом координат и частицей (единицы \(c^2/g\); событие \(P\) при \(g\tau/c=1\)). Нижняя бирюзовая линия — сигнал от часов к частице (B.1), верхняя — от частицы к наблюдателю (B.2); пунктир — луч, вышедший при \(ct=c^2/g\), он никогда не догоняет частицу.

Обратите внимание: здесь учитывается именно время распространения; в части A \(t\) — время события, а не время, когда о нём узнал наблюдатель. Для \(g\approx9{,}8\) м/с\(^2\) предельное показание \(c/g\approx3\cdot10^7\) с — около года.

B.2. Событие на частице с показанием часов \(\tau_0\) происходит в момент \(t_\text{соб}=\dfrac{c}{g}\sinh\psi_0\) в точке \(x=\dfrac{c^2}{g}(\cosh\psi_0-1)\), \(\psi_0=g\tau_0/c\). Сигнал идёт до начала координат время \(x/c\), поэтому наблюдатель видит это показание в момент \[t=t_\text{соб}+\frac{x}{c}=\frac{c}{g}\bigl(\sinh\psi_0+\cosh\psi_0-1\bigr)=\frac{c}{g}\left(e^{g\tau_0/c}-1\right).\] Отсюда \[\tau_0=\frac{c}{g}\ln\left(1+\frac{gt}{c}\right).\] Предела нет: показание растёт неограниченно, но очень медленно (логарифм). Сигналы от частицы всегда доходят до начала координат — частица удаляется со скоростью меньше \(c\).

Проверка: при \(gt/c\ll1\): \(\tau_0\approx t\) — пока скорость мала, часы идут одинаково.

C.1. Стержень длиной \(L\) покоится в \(S\), его концы — на оси \(x\) в точках \(A\) и \(B\) (рис. 5, \(AB=L\)); правый конец движется по вертикали (линия мира, пунктир). Длину в \(S'\) даёт расстояние между событиями, одновременными в \(S'\): левый конец \(A\) и событие \(C\) на линии мира правого конца, лежащее на оси \(x'\) (прямая \(ct'=0\)). Это отрезок \(AC\).

Рис. 5. Стержень \(AB\) покоится в \(S\) (чёрный); в системе \(S'\) его длина — отрезок \(AC\) вдоль оси \(x'\) (бирюзовый); \(\theta=30^\circ\).

В масштабе диаграммы \(AC=\dfrac{AB}{\cos\theta}=L\sqrt{1+\beta^2}\) (так как \(\operatorname{tg}\theta=\beta\), \(\cos\theta=1/\sqrt{1+\beta^2}\)). Единица длины вдоль \(x'\) на диаграмме равна \(\sqrt{\dfrac{1+\beta^2}{1-\beta^2}}\) (по условию), поэтому длина в единицах \(S'\): \[L'=\frac{L\sqrt{1+\beta^2}}{\sqrt{\dfrac{1+\beta^2}{1-\beta^2}}}=L\sqrt{1-\beta^2}.\] Это обычное сокращение длины: движущийся (относительно стержня) наблюдатель видит его короче.

C.2. Строим в единицах \(c^2/g\): \(X=x/(c^2/g)\) и \(T=ct/(c^2/g)=gt/c\). Мировая линия — гипербола (A.3): \[X=\sqrt{1+T^2}-1 .\] Она выходит из начала координат касательно оси \(T\) и стремится к световому лучу \(T=X+1\) (рис. 6). При \(gt/c=1\), \(T=1\): \[X=\sqrt2-1\approx0{,}414,\qquad\beta=\frac{T}{\sqrt{1+T^2}}=\frac1{\sqrt2}\approx0{,}707 .\] Ось \(ct'\) — мировая линия точки с \(x'=\text{const}\), то есть самой частицы: касательная к гиперболе в точке \(P=(0{,}414;\,1)\). Наклон касательной \(dT/dX=1/\beta=\sqrt2\). Ось \(x'\) — линия одновременности в \(S'\) (\(ct'=0\)): угол между \(x\) и \(x'\) равен углу между \(ct\) и \(ct'\) и равен \(\theta\), \(\operatorname{tg}\theta=\beta\), значит \(dT/dX=\beta=1/\sqrt2\) (направление \((1,\beta)\) по формулам Лоренца).

Рис. 6. Мировая линия частицы (гипербола, единицы \(c^2/g\)) и оси мгновенной собственной системы при \(gt/c=1\): \(ct'\) — касательная в точке \(P\), \(x'\) — прямая через \(P\) с наклоном \(\beta\). Пунктир — световой луч \(ct=x+c^2/g\) и проекции \(P\) на оси.

Прямая \(x'\) задаётся уравнением \(T=1+\beta\,(X-0{,}414)\); при \(X=-1\) получаем \(T=1-0{,}707\cdot1{,}414=0\). Значит, ось \(x'\) проходит через точку \((-c^2/g;\,0)\); в общем случае \(dT/dX=\beta=\tanh\theta=\dfrac{ct}{x+c^2/g}\) — это в точности направление из этой точки на частицу, так что все оси \(x'\) (при любом \(\tau\)) пересекаются в одной точке \((-c^2/g;\,0)\). Это пригодится в части E.

D.1. В \(S\) обе частицы стартуют одновременно с одним и тем же собственным ускорением \(g\) и движутся по одинаковым законам, смещённым на \(L\) вдоль \(x\). Время по часам каждой — одна и та же функция времени \(t\): \(\tau=(c/g)\operatorname{Arsh}(gt/c)\) (A.6). Поэтому наблюдатель в \(S\) видит одинаковые показания: \[\tau_B=\tau_A .\]

D.2. Одновременность в \(S'_1\) (мгновенной собственной системе первой частицы) — это ось \(x'\) на диаграмме. Если \(P_1=(x_1,t_1)\) — событие на первой частице с показанием \(\tau_1\), а \(P_2=(x_2,t_2)\) — событие на второй с показанием \(\tau_2\), одновременное с ним в \(S'_1\), то отрезок \(P_1P_2\) лежит на оси \(x'\) (рис. 7). Её наклон — \(\beta_1\) первой частицы: \[\beta_1=\tanh\psi_1=\frac{c\,(t_2-t_1)}{x_2-x_1},\qquad\psi_i=\frac{g\tau_i}{c},\quad\ell=\frac{gL}{c^2}.\] Подставляем (A.6) и \(x_1=\dfrac{c^2}{g}(\cosh\psi_1-1)\), \(x_2=\dfrac{c^2}{g}(\cosh\psi_2-1)+L\): \[\tanh\psi_1=\frac{\sinh\psi_2-\sinh\psi_1}{\ell+\cosh\psi_2-\cosh\psi_1}.\] Умножаем на знаменатель и на \(\cosh\psi_1\): \[\ell\sinh\psi_1+\sinh\psi_1\cosh\psi_2-\sinh\psi_1\cosh\psi_1=\sinh\psi_2\cosh\psi_1-\sinh\psi_1\cosh\psi_1,\] \[\ell\sinh\psi_1=\sinh\psi_2\cosh\psi_1-\cosh\psi_2\sinh\psi_1=\sinh(\psi_2-\psi_1).\] То есть \[\sinh\frac{g}{c}(\tau_2-\tau_1)=\frac{gL}{c^2}\,\sinh\frac{g\tau_1}{c},\qquad C_1=\frac{gL}{c^2}.\]

Рис. 7. Мировые линии двух частиц (единицы \(c^2/g\), \(gL/c^2=1\); \(g\tau_1/c=0{,}5\)). Горизонтальный пунктир — момент \(ct_1\) в \(S\): частицы показывают одинаковое время, \(P_2'\) (D.1). Бирюзовая линия — одновременность в системе первой частицы: событие \(P_2\) с большим показанием часов (D.2).

Проверка: при \(L\to0\) получаем \(\tau_2=\tau_1\); при \(\tau_1=0\) — \(\tau_2=0\) (старт синхронный); при \(g\tau_1\ll c\): \(\tau_2-\tau_1\approx\dfrac{gL}{c^2}\,\tau_1\), то есть \(\tau_2\approx(1+gL/c^2)\,\tau_1\) — первая частица видит часы второй идущими быстрее; тот же множитель получится в E.3.

D.3. Расстояние между частицами в системе \(S'_1\) — длина отрезка \(P_1P_2\) вдоль оси \(x'\). Интервал \(\Delta x^2-c^2\Delta t^2\) инвариантен, а в \(S\) отрезок лежит на оси \(x'\) с наклоном \(\beta_1\), поэтому \[L'=\sqrt{(x_2-x_1)^2-c^2(t_2-t_1)^2}=(x_2-x_1)\sqrt{1-\beta_1^2}=\frac{x_2-x_1}{\gamma_1},\qquad\gamma_1=\cosh\psi_1 .\] Введём \(\Delta=\psi_2-\psi_1\); по D.2 \(\sinh\Delta=\ell\sinh\psi_1\), поэтому \(\cosh\Delta=\sqrt{1+\ell^2\sinh^2\psi_1}\) и \[\cosh\psi_2=\cosh\psi_1\cosh\Delta+\sinh\psi_1\sinh\Delta=\cosh\psi_1\cosh\Delta+\ell\sinh^2\psi_1 .\] Тогда \[L'=\frac{c^2}{g}\,\frac{\cosh\psi_2-\cosh\psi_1+\ell}{\cosh\psi_1} =\frac{c^2}{g}\,\frac{\cosh\psi_1(\cosh\Delta-1)+\ell(\sinh^2\psi_1+1)}{\cosh\psi_1} =\frac{c^2}{g}\bigl(\cosh\Delta-1+\ell\cosh\psi_1\bigr).\] При \(\psi_1=0\) получаем \(L'=\dfrac{c^2}{g}\,\ell=L\), как и должно быть. Теперь дифференцируем по \(\tau_1\); \(\dfrac{d\psi_1}{d\tau_1}=\dfrac gc\), и \[\frac{dL'}{d\tau_1}=c\,\frac{d}{d\psi_1}\bigl(\cosh\Delta+\ell\cosh\psi_1\bigr)=c\left(\frac{\ell^2\sinh\psi_1\cosh\psi_1}{\cosh\Delta}+\ell\sinh\psi_1\right)=c\ell\sinh\psi_1\,\frac{\ell\cosh\psi_1+\cosh\Delta}{\cosh\Delta}.\] Но \(\sinh\psi_2=\sinh\psi_1\cosh\Delta+\cosh\psi_1\sinh\Delta=\sinh\psi_1\,(\cosh\Delta+\ell\cosh\psi_1)\), поэтому \[\frac{dL'}{d\tau_1}=\frac{gL}{c}\,\frac{\sinh\dfrac{g\tau_2}{c}}{\cosh\dfrac{g}{c}(\tau_2-\tau_1)},\qquad C_2=\frac{gL}{c}.\] Проверка: размерность \(gL/c\) — (м/с\(^2\))(м)/(м/с) = м/с, как у скорости. При \(\tau_1=0\) расстояние начинает расти с нуля скорости (\(\sinh0=0\)) — вначале частицы покоятся друг относительно друга; при \(L\to0\) расстояние не растёт.

E.1. Расстояние от первой частицы до неподвижной в \(S\) точки \(x_p\) — длина стержня, покоящегося в \(S\), измеренная в системе первой частицы. По C.1 она равна \((x-x_p)/\gamma\), \(\gamma=\cosh\psi\): \[L'=\frac{x-x_p}{\gamma}=\frac{\dfrac{c^2}{g_1}(\cosh\psi-1)-x_p}{\cosh\psi}=\frac{c^2}{g_1}-\frac{\dfrac{c^2}{g_1}+x_p}{\cosh\psi}.\] Расстояние постоянно, только если второе слагаемое равно нулю при любом \(\psi\): \[x_p=-\frac{c^2}{g_1},\qquad L'=\frac{c^2}{g_1}.\] Это та самая точка, через которую проходят все оси \(x'\) (рис. 6).

E.2. Пусть \(Q=(x_p;0)\) — эта точка при \(t=0\). Мировая линия первой частицы — гипербола \[(x-x_p)^2-(ct)^2=a_1^2,\qquad a_1=\frac{c^2}{g_1}.\] Ось \(x'\) мгновенной системы первой частицы идёт из \(Q\) к событию \(P_1\) на этой гиперболе (рис. 8): в точке \(P_1\) она имеет наклон \(\beta_1=ct_1/(x_1-x_p)\), а это ровно направление \(QP_1\). Расстояние вдоль оси \(x'\) от \(Q\) до \(P_1\) равно инвариантному интервалу \(\sqrt{(x_1-x_p)^2-(ct_1)^2}=a_1\) — как в E.1.

Вторая частица всё время должна лежать на той же оси \(x'\) (она одновременна для первой частицы) на расстоянии \(L\) дальше от \(P_1\), то есть на расстоянии \(a_2=a_1+L=\dfrac{c^2}{g_1}+L\) от \(Q\). Все такие точки лежат на гиперболе \[(x-x_p)^2-(ct)^2=a_2^2,\] которая при \(t=0\) проходит через \(x=x_p+a_2=L\) (старт второй частицы) и является мировой линией равноускоренной частицы с собственным ускорением \(g_2=c^2/a_2\): \[g_2=\frac{c^2}{\dfrac{c^2}{g_1}+L}=\frac{g_1}{1+g_1L/c^2}.\]

Рис. 8. Две частицы с постоянным расстоянием между ними (единицы \(c^2/g_1\), \(L=c^2/g_1\), \(g_2=g_1/2\)). Обе гиперболы имеют центр в точке \(x_p=-c^2/g_1\); бирюзовые лучи из неё — линии одновременности первой частицы при \(g_1\tau_1/c=0{,}5\) и \(1\).

Обратите внимание: \(g_2<g_1\) — чтобы расстояние оставалось постоянным, частица, находящаяся дальше от точки \(Q\), ускоряется слабее; при \(g_2=g_1\) (часть D) расстояние в системе первой частицы растёт.

Проверка: при \(L\to0\) получаем \(g_2\to g_1\); при \(L\to\infty\) — \(g_2\to c^2/L\) (интервал до \(Q\) почти равен \(L\)).

E.3. Первая и вторая частицы лежат на одной и той же прямой из \(Q\), то есть на одной оси \(x'\) первой частицы. Для частицы на гиперболе радиуса \(a\) с центром в \(Q\) угол «быстроты» \(\psi\) связан с положением на радиальной прямой (\(ct=a\sinh\psi\), \(x-x_p=a\cosh\psi\)), а собственное время равно \(\tau=a\psi/c\) (так как \(\psi=g\tau/c\), \(a=c^2/g\)). Для обеих частиц на одной радиальной прямой \(\psi\) одинаково, поэтому \[\frac{d\tau_2}{d\tau_1}=\frac{a_2}{a_1}=\frac{g_1}{g_2}=1+\frac{g_1L}{c^2}.\] Часы второй частицы, расположенной дальше от \(Q\), идут быстрее часов первой в \(1+g_1L/c^2\) раз, и отношение постоянно во времени.

Проверка: при \(\tau_1\to0\) из D.2 получаем то же отношение \(1+gL/c^2\): в самом начале движения геометрия линий одновременности у обеих задач одна и та же.

F.1. Спутник движется по окружности под действием силы тяготения Земли. Закон всемирного тяготения и второй закон Ньютона для спутника в проекции на радиальное направление: \[\frac{GMm}{r^2}=m\omega^2r,\qquad\omega=\frac{2\pi}{T}.\] Заменим \(GM=gR^2\) (на поверхности Земли \(mg=GMm/R^2\)): \[r=\left(\frac{gR^2T^2}{4\pi^2}\right)^{1/3}=\left(\frac{9{,}78\cdot(6{,}38\cdot10^6)^2\cdot(4{,}32\cdot10^4)^2}{4\pi^2}\right)^{1/3}\text{ м}\approx2{,}66\cdot10^7\text{ м}\approx4{,}17\,R,\] \(T=12\text{ ч}=4{,}32\cdot10^4\) с. Скорость \[v=\omega r=\frac{2\pi r}{T}\approx\frac{2\pi\cdot2{,}66\cdot10^7}{4{,}32\cdot10^4}\approx3{,}87\cdot10^3\text{ м/с}.\]

Рис. 9. Орбита спутника GPS (масштаб соблюдён: \(r/R=4{,}17\)): сила тяготения \(\vec F\) направлена к центру, скорость \(\vec v\) — по касательной.

F.2. Общерелятивистский эффект. В части E часы, расположенные выше на \(L\) в равноускоренной системе (то есть в эквивалентном поле тяжести \(g\)), идут быстрее в \(1+gL/c^2\) раз. Здесь \(gL\) — разность потенциалов на единицу массы; для поля Земли (\(GM=gR^2\)) между поверхностью и орбитой \[\Delta\varphi=GM\left(\frac1R-\frac1r\right)=gR^2\,\frac{r-R}{Rr},\] и часы на орбите идут быстрее в \(1+\Delta\varphi/c^2\) раз. Поле Земли неоднородно, но эффект мал (\(\Delta\varphi/c^2\sim10^{-10}\)): разобьём путь от поверхности до орбиты на тонкие слои, в каждом поле однородно и темп меняется на \(d\varphi/c^2\); малые относительные поправки складываются, и в сумме получается \(\Delta\varphi/c^2\). Вращение Земли (скорость часов на экваторе \(0{,}46\) км/с) не учитываем, как и в официальном решении. За время \(\Delta t=1\) сут \(=8{,}64\cdot10^4\) с набегает \[\Delta\tau_g=\frac{gR^2}{c^2}\,\frac{r-R}{Rr}\,\Delta t=4{,}42\cdot10^{-3}\text{ м}\cdot1{,}19\cdot10^{-7}\text{ м}^{-1}\cdot8{,}64\cdot10^4\text{ с}\approx4{,}55\cdot10^{-5}\text{ с}\quad(\text{спутник вперёд}).\] В официальном решении эта формула записана с множителем \((R-r)/(Rr)<0\), а ответ дан положительным; верный знак — \((r-R)/(Rr)\): выше потенциал больше, и часы идут быстрее. Специальный эффект. Часы спутника движутся со скоростью \(v\) и по замедлению времени идут медленнее в \(\sqrt{1-v^2/c^2}\approx1-\dfrac{v^2}{2c^2}\) раз: \[\Delta\tau_s=-\frac{v^2}{2c^2}\,\Delta t=-\frac{(3{,}87\cdot10^3)^2}{2\cdot(3\cdot10^8)^2}\cdot8{,}64\cdot10^4\text{ с}\approx-7{,}18\cdot10^{-6}\text{ с}.\] Складываем: \[\Delta\tau=\Delta\tau_g+\Delta\tau_s\approx4{,}55\cdot10^{-5}-0{,}72\cdot10^{-5}\approx3{,}83\cdot10^{-5}\text{ с}.\] Часы на спутнике идут быстрее, и за сутки уходят вперёд на \(\approx38\) мкс.

F.3. Ошибка \(\Delta\tau\) в определении времени даёт ошибку расстояния до спутника: свет за время \(\Delta\tau\) проходит \(c\,\Delta\tau\). Поэтому за сутки \[\Delta L=c\,\Delta\tau\approx3\cdot10^8\cdot3{,}83\cdot10^{-5}\approx1{,}15\cdot10^4\text{ м}\approx11{,}5\text{ км}.\] Без поправки навигатор «уезжал» бы на десятки километров в сутки; поэтому темп часов спутника сдвигают заранее.

Проверка: размерность \(c\,\Delta\tau\) — метры. Известные значения для GPS: \(+45{,}7\) мкс общерелятивистский, \(-7{,}2\) мкс специальный, итого около \(+38\) мкс/сут — наш результат совпадает. Общерелятивистский эффект в шесть раз больше специального, поэтому часы спутника в итоге опережают.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.