Быстрее света?

Учтите, что свет от более поздних положений источника, приближающегося к наблюдателю, идёт меньшее расстояние: промежуток между приходами сигналов равен \(\Delta t(1 - \beta\cos\phi)\). Для двух объектов, летящих в противоположные стороны, запишите выражения для \(\omega_1\) и \(\omega_2\) с \(\cos\phi\) разных знаков.

a) Отметим на рис. 3.1 центры источников как можно аккуратнее. Пусть \(\theta_1(t)\) — угловое расстояние левого центра от крестика как функция времени, а \(\theta_2(t)\) — угловое расстояние правого центра. Измерим эти величины на рисунке в данные моменты времени линейкой и переведём в угловые секунды согласно заданному масштабу. Это даёт следующие численные данные:

Погрешность отсчёта по линейке оценивается в \(\pm 0{,}5\) мм, что даёт погрешность \(\pm 0{,}013\) as в значениях \(\theta\). Нанесём данные на график (рис. 3.3).

Рис. 3.3. Угловые расстояния \(\theta_1\) и \(\theta_2\) (в as) как функции времени в сутках. На рисунке: separation (as) — расстояние (as), time (days) — время (сут).

Проведение прямых через точки даёт: \[\boldsymbol{\omega_1} = d\theta_1/dt = \boldsymbol{(17{,}0 \pm 1{,}0)\textbf{ mas/сут}} = 9{,}54\cdot 10^{-13}\text{ рад/с}, \tag{3.2}\] \[\boldsymbol{\omega_2} = d\theta_2/dt = \boldsymbol{(8{,}7 \pm 1{,}0)\textbf{ mas/сут}} = 4{,}88\cdot 10^{-13}\text{ рад/с}, \tag{3.3}\] \[\boldsymbol{v'_{1,\perp}} = \omega_1\,R = 9{,}54\cdot 10^{-13}\cdot 12{,}5\cdot 3{,}09\cdot 10^{19} \tag{3.4}\] \[\phantom{\boldsymbol{v'_{1,\perp}}} = \boldsymbol{3{,}68\cdot 10^8\textbf{ м/с} \approx (1{,}23 \pm 0{,}07)\,c}, \tag{3.5}\] \[\boldsymbol{v'_{2,\perp}} = \boldsymbol{1{,}89\cdot 10^8\textbf{ м/с} \approx (0{,}63 \pm 0{,}07)\,c}. \tag{3.6}\]

b) Рассмотрим движение источника за промежуток времени \(\Delta t\) из точки \(A\) в точку \(A'\), см. рис. 3.4. Тогда имеем \[\vec r_{AA'} = \vec r_{A'} - \vec r_A = \vec v\cdot\Delta t. \tag{3.7}\] Пусть теперь \(\Delta t'\) — разность моментов прихода в \(O\) сигналов из \(A\) и \(A'\). Из-за различия расстояний до \(A\) и \(A'\) и конечности скорости света \(c\) имеем

Рис. 3.4. Наблюдатель находится в точке \(O\), а начальное положение источника — в точке \(A\). Вектор скорости — \(\vec v\). \[\Delta t' = \Delta t + (r_{A'} - r_A)/c. \tag{3.8}\] При малых \(\Delta t\), таких что \(v\,\Delta t \ll r_A = R\), имеем \[r_{A'} - r_A \approx -v\,\Delta t\cos\phi \tag{3.9}\] и, следовательно, \[\Delta t' \approx \Delta t\,(1 - \beta\cos\phi); \quad \beta = v/c. \tag{3.10}\] Это означает, что наблюдатель в \(O\) найдёт кажущуюся поперечную скорость источника равной \[\boldsymbol{v'_\perp} = \frac{\Delta x}{\Delta t'} = \frac{\Delta x}{\Delta t\,(1 - \beta\cos\phi)} = \boldsymbol{\frac{c\beta\sin\phi}{1 - \beta\cos\phi}}, \tag{3.11}\] где мы использовали то, что истинная поперечная скорость в системе отсчёта наблюдателя равна \(v_\perp = \Delta x/\Delta t = c\beta\sin\phi\).

Угловая скорость, наблюдаемая в \(O\), равна \[\boldsymbol{\omega} = \frac{v'_\perp}{R} = \boldsymbol{\frac{c\beta\sin\phi}{R\,(1 - \beta\cos\phi)}}. \tag{3.12}\]

c) На рис. 3.5 показана ситуация в этом случае. Обратите внимание на соотношения, приведённые в подписи. Принимая \(\phi = \phi_1\), имеем \(\sin\phi_2 = \sin\phi\) и \(\cos\phi_2 = -\cos\phi\). Тогда уравнение (3.12) даёт: \[\omega_1 = \frac{\beta\,c\,\sin\phi}{R\,(1 - \beta\cos\phi)}, \tag{3.13}\] \[\omega_2 = \frac{\beta\,c\,\sin\phi}{R\,(1 + \beta\cos\phi)}. \tag{3.14}\]

Рис. 3.5. Если два объекта имеют одинаковые по модулю, но противоположные по направлению скорости, то \(v_1 = v_2 = v\), \(\beta_1 = \beta_2 = \beta\) и \(\phi_2 = \pi - \phi_1\).

Величины \(\omega_1\), \(\omega_2\) и \(R\) заданы, а \(\beta\) и \(\phi\) нужно определить, как сказано в условии задачи. Простые алгебраические выкладки дают: \[(1 - \beta\cos\phi)\,\omega_1\,\omega_2 = \beta\,c\,\sin\phi\,\omega_2/R, \tag{3.15}\] \[(1 + \beta\cos\phi)\,\omega_2\,\omega_1 = \beta\,c\,\sin\phi\,\omega_1/R. \tag{3.16}\] Вычитая (3.15) из (3.16), получаем: \[2\,\beta\cos\phi\,\omega_2\,\omega_1 = \beta\,c\,\sin\phi\,(\omega_1 - \omega_2)/R, \tag{3.17}\] \[\tan\phi = \frac{2\,R\,\omega_2\,\omega_1}{c\,(\omega_1 - \omega_2)}, \tag{3.18}\] \[\boldsymbol{\phi = \arctan\left(\frac{2\,R\,\omega_2\,\omega_1}{c\,(\omega_1 - \omega_2)}\right)}. \tag{3.19}\] Деление (3.15) на (3.16) даёт \(\beta\) через \(\cos\phi\) и известные величины \(\omega_1\) и \(\omega_2\): \[\omega_1\,(1 - \beta\cos\phi) = \omega_2\,(1 + \beta\cos\phi), \tag{3.20}\] \[\boldsymbol{\beta = \frac{\omega_1 - \omega_2}{\cos\phi\,(\omega_1 + \omega_2)}}. \tag{3.21}\] Подставляя значения \(\omega_1\) и \(\omega_2\) из пункта (a) и заданные значения \(R\) и \(c\), получаем: \[\boldsymbol{\phi} = \arctan(2{,}57) = \boldsymbol{1{,}20\textbf{ рад} = 68{,}8^\circ \pm 2^\circ}, \tag{3.22}\] \[\boldsymbol{\beta = 0{,}892 \pm 0{,}08}. \tag{3.23}\]

d) Уравнение (3.11) показывает, что наблюдатель найдёт кажущуюся поперечную скорость большей или равной скорости света тогда и только тогда, когда \[\frac{\beta\sin\phi}{1 - \beta\cos\phi} \ge 1. \tag{3.24}\] При \(\beta < 1\) условие (3.24) эквивалентно: \[\beta\sin\phi \ge 1 - \beta\cos\phi, \tag{3.25}\] \[\beta\,(\sin\phi + \cos\phi) \ge 1, \tag{3.26}\] \[\beta\sqrt2\left(\sin\phi\cos\frac{\pi}{4} + \cos\phi\sin\frac{\pi}{4}\right) \ge 1, \tag{3.27}\] \[\sin\left(\phi + \frac{\pi}{4}\right) \ge \frac{1}{\beta\sqrt2}, \tag{3.28}\] и, следовательно, (3.24) выполняется, если \[\beta > \boldsymbol{f(\phi) = \left(\sqrt2\sin(\phi + \pi/4)\right)^{-1}}. \tag{3.29}\] Физически допустимая область плоскости \((\beta, \phi)\): \[\boldsymbol{(\beta, \phi) \in [0, 1[\times[0, \pi]}. \tag{3.30}\] Очевидно, что (3.24) может выполняться только при \(\phi \in [0, \pi/2]\), а (3.28) может иметь решение относительно \(\phi\) только при \(\beta \ge 1/\sqrt2\).

Поэтому рассмотрим подробнее область \[(\beta, \phi) \in [2^{-1/2}, 1[\times[0, \pi/2]. \tag{3.31}\] Отображение \[(\beta, \phi) \mapsto \beta\sin\left(\phi + \frac{\pi}{4}\right) \tag{3.32}\] непрерывно в этой области. Поэтому достаточно рассмотреть границу области, определяемую знаком равенства в (3.28): \[\beta\sin\left(\phi + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt2}. \tag{3.33}\] Это определяет \(\beta\) как функцию \(\phi\), которая показана на рис. 3.6 как кривая, ограничивающая заштрихованную область, где \(v'_\perp > c\).

e) Чтобы найти экстремумы \(v'_\perp\) как функции \(\phi\), продифференцируем (3.11) и получим \[\frac{d}{d\phi}\left(\frac{v'_\perp}{c}\right) = \frac{\beta(\cos\phi - \beta)}{(1 - \beta\cos\phi)^2}. \tag{3.34}\] Это обращается в нуль при \(\phi = \phi_m\), где: \[\cos\phi_m = \beta; \quad \phi_m = \arccos\beta \in\,]0, \pi/2]. \tag{3.35}\]

Рис. 3.6 (слева). Область между горизонтальной прямой и кривой в верхнем левом углу показывает, где \(v'_\perp/c > 1\).
Рис. 3.7 (справа). Искривлённая поверхность — \(v'_\perp/c\) как функция \(\beta\) и \(\phi\). Плоскость изображает постоянную функцию \(\beta = 1\).

Чтобы убедиться, что это действительно максимум, продифференцируем (3.34) ещё раз и получим: \[\frac{d^2}{d\phi^2}\left(\frac{v'_\perp}{c}\right) = -\beta\left(\frac{\sin\phi}{(1 - \beta\cos\phi)^2} + 2\frac{\beta\sin\phi(\cos\phi - \beta)}{(1 - \beta\cos\phi)^3}\right). \tag{3.36}\] В точке экстремума \[\left.\frac{d^2}{d\phi^2}\left(\frac{v'_\perp}{c}\right)\right|_{\phi_m} = -\frac{\beta\sin\phi_m}{(1 - \beta^2)^2} < 0, \tag{3.37}\] что показывает, что \(\phi_m\) соответствует максимуму. Из (3.11) и (3.35) максимальная кажущаяся поперечная скорость равна: \[\boldsymbol{(v'_\perp)_{max} = \frac{\beta c}{\sqrt{1 - \beta^2}}}. \tag{3.38}\] Отсюда и из (3.35) видно, что \[(v'_\perp)_{max} \xrightarrow[\beta \to 1]{} \infty; \quad \phi_m \xrightarrow[\beta \to 1]{} 0. \tag{3.39}\] На рис. 3.7 показана \(v'_\perp/c\) как функция \(\beta\) и \(\phi\) в области \((\beta, \phi) \in [2^{-1/2}, 1[\times[0, \pi/2]\).

f) Имеем формулы релятивистского доплеровского сдвига: \[\frac{\lambda_{1,2}}{\lambda_0} = \frac{1 \mp \beta\cos\phi}{\sqrt{1 - \beta^2}}. \tag{3.40}\] Сложим их, определим вспомогательное отношение \(\rho\) и выразим \(\beta\): \[\rho := \frac{\lambda_1 + \lambda_2}{2\,\lambda_0} = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}}, \tag{3.41}\] \[\rho^2\,(1 - \beta^2) = 1, \tag{3.42}\] \[\beta = \sqrt{1 - 1/\rho^2} = \sqrt{1 - \frac{4\,\lambda_0^2}{(\lambda_1 + \lambda_2)^2}}, \tag{3.43}\] что даёт \[\boldsymbol{\alpha = 4}. \tag{3.44}\] Добавив уравнение (3.43) к системе уравнений (3.18) и (3.21), получим три уравнения, из которых можно найти три неизвестных \(\beta\), \(\phi\) и \(R\). Например, можно вычислить \(\beta\) из (3.43), подставить его в (3.21) и найти \(\phi\). Затем расстояние \(R\) можно получить из (3.18). Таким образом, измерение доплеровски смещённых длин волн, оказывается, даёт оценку расстояния до источника, если известны \(\omega_1\) и \(\omega_2\).