Качение шестигранной призмы

Во время удара сила со стороны плоскости приложена к ударяющемуся ребру и не создаёт момента относительно него: сохраняется момент импульса относительно этого ребра. Между ударами энергия растёт на \(Mga\sin\theta\), а при ударе умножается на \(r\) — найдите неподвижную точку этой итерации.

a) Способ решения 1.

При ударе призма начинает вращаться вокруг новой оси, т. е. вокруг ребра, которое только что ударилось о плоскость. Сила со стороны плоскости не создаёт момента относительно этой оси, так что момент импульса относительно ребра сохраняется в течение короткого промежутка времени удара. Импульс призмы как целого направлен так же, как скорость центра масс (\(\vec P = M\vec v_C\), где индекс \(C\) относится к центру масс), и это направление легко проследить, зная ось вращения в данный момент. Непосредственно перед ударом \(\vec P\) направлен под углом \(30^\circ\) вниз относительно плоскости, а после удара будет направлен под углом \(30^\circ\) вверх от плоскости, см. рис. 1.3.

Рис. 1.3. Импульс призмы как целого до и после удара.

Чтобы найти момент импульса относительно ребра удара непосредственно перед ударом, воспользуемся уравнением, связывающим момент импульса \(\vec L\) относительно произвольной оси с моментом импульса \(\vec L_C\) относительно оси, проходящей через центр масс параллельно первой: \[\vec L = \vec L_C + M\,\vec r_C \times \vec v_C, \tag{1.7}\] где индекс \(C\) относится к центру масс. Здесь это применяется к оси, проходящей через точку удара, так что \(\vec r_C\) — вектор от этой точки к центру масс (рис. 1.3). Оба вектора в правой части уравнения (1.7) направлены одинаково. Поэтому для величин непосредственно перед ударом получаем¹ \[|\vec r_C \times \vec v_{Ci}| = r_C\, v_{Ci} \sin 30^\circ = a^2\,\omega_i/2, \tag{1.8}\] \[L_i = I\,\omega_i + \frac{1}{2}\,M\,a^2\,\omega_i = \left(\frac{5}{12} + \frac{1}{2}\right) M\,a^2\,\omega_i = \frac{11}{12}\,M\,a^2\,\omega_i. \tag{1.9}\]

С другой стороны, момент импульса относительно ребра сразу после удара, согласно уравнению (1.2), равен² \[L_f = I'\omega_f = \frac{17}{12}Ma^2\omega_f, \tag{1.10}\] где индекс \(f\) всегда относится к состоянию сразу после удара. Можно заметить, что разница возникает из-за различных направлений \(\vec v_{Ci}\) и \(\vec v_{Cf}\). Теперь, записывая закон сохранения момента импульса \(L_i = L_f\), получаем следующее соотношение между угловыми скоростями: \[\omega_f = \frac{11/12}{17/12}\,\omega_i = \frac{11}{17}\,\omega_i. \tag{1.11}\] Таким образом, получаем: \[\boldsymbol{s = 11/17}. \tag{1.12}\] Можно отметить, что \(s\) не зависит от \(a\), \(\omega_i\) и \(\theta\).

Способ решения 2.

При ударе призма получает от плоскости импульс \(\vec P\) [Н\(\cdot\)с] в ребре, где происходит удар. На ребре, которое отрывается от плоскости, реакции нет. У импульса есть составляющая \(P_\parallel\), параллельная наклонной плоскости (положительная вверх вдоль наклона на рис. 1.3), и составляющая \(P_\perp\), перпендикулярная плоскости (положительная вверх от плоскости на том же рисунке).

Можно составить три уравнения с тремя неизвестными \(P_\parallel\), \(P_\perp\) и отношением \(s = \omega_f/\omega_i\). Величина \(P_\parallel\) — изменение параллельной составляющей импульса призмы, а \(P_\perp\) — соответствующее изменение перпендикулярной составляющей импульса. Таким образом: \[P_\parallel = M\,(\omega_i - \omega_f)\,a\cdot\frac{\sqrt3}{2}, \tag{1.13}\] \[P_\perp = M\,(\omega_i + \omega_f)\,a\cdot\frac{1}{2}. \tag{1.14}\] Наконец, имеем: \[P_\perp a\frac{1}{2} - P_\parallel a\frac{\sqrt3}{2} = I\,(\omega_i - \omega_f), \tag{1.15}\] так как правая часть — изменение момента импульса относительно центра масс. Уравнения (1.13), (1.14) и (1.15) теперь можно решить относительно отношения \(s = \omega_f/\omega_i\), что даёт, разумеется, тот же результат, что и раньше.

b) Скорость центра масс непосредственно перед ударом равна \(a\omega_i\), а сразу после удара — \(a\omega_f\). Мы знаем, что кинетическую энергию вращающегося твёрдого тела всегда можно записать как сумму «внутренней» и «внешней» кинетической энергии: \[K_{tot} = \frac{1}{2}\,I\,\omega^2 + \frac{1}{2}\,M\,v_C^2. \tag{1.16}\] Отсюда видно, что в нашем случае кинетическая энергия \(K_{tot}\) пропорциональна \(\omega^2\) и до, и после удара, так что получаем \[K_f = r\,K_i = \left(\frac{11}{17}\right)^2 K_i = \frac{121}{289}K_i, \tag{1.17}\] поэтому \[\boldsymbol{r = 121/289} \approx 0{,}419. \tag{1.18}\]

c) Кинетической энергии \(K_f\) после удара должно хватить, чтобы поднять центр масс в его наивысшее положение — точно над точкой контакта. Угол, на который для этого поворачивается \(\vec r_C\), равен \[x = \frac{\alpha}{2} - \theta, \tag{1.19}\] где \(\alpha = 60^\circ\) — угол при вершине треугольников, сходящихся в центре многоугольника³. Энергия, необходимая для такого подъёма центра масс, равна \[E_0 = Mga(1 - \cos x) = Mga\,(1 - \cos(30^\circ - \theta)), \tag{1.20}\] и мы получаем условие \[K_f = rK_i > E_0 = Mga\,(1 - \cos(30^\circ - \theta)), \tag{1.21}\] откуда \[\boldsymbol{\delta = \frac{1}{r}\,(1 - \cos(30^\circ - \theta))}. \tag{1.22}\] (Заметим, что \(\cos(30^\circ - \theta) = \frac{\sqrt3}{2}\cos\theta + \frac12\sin\theta\).)

d) Пусть \(K_{i,n}\) и \(K_{f,n}\) — кинетические энергии непосредственно перед \(n\)-м ударом и сразу после него. Мы показали, что выполняется соотношение \[K_{f,n} = r\,K_{i,n}, \tag{1.23}\] где \(r = \frac{121}{289}\) для шестигранной призмы. Между последовательными ударами высота центра масс призмы уменьшается на \(a\sin\theta\), и по этой причине её кинетическая энергия увеличивается на \[\Delta = Mga\sin\theta. \tag{1.24}\] Поэтому имеем \[K_{i,n+1} = rK_{i,n} + \Delta. \tag{1.25}\] Чтобы найти предел, не обязательно выписывать полное выражение \(K_{i,n}\) как функции \(K_{i,1}\) и \(n\). Это фактически было бы доказательством существования предела (см. ниже), но оно дано в условии задачи. Следовательно, при достаточно больших \(n\) равенство \(K_{i,n+1} \approx K_{i,n}\) можно сделать сколь угодно точным. Значит, предел \(K_{i,0}\) должен удовлетворять итерационной формуле, т. е. \[K_{i,0} = rK_{i,0} + \Delta, \tag{1.26}\] что даёт решение \[K_{i,0} = \frac{\Delta}{1 - r}, \tag{1.27}\] т. е. \[\boldsymbol{\kappa = \frac{\sin\theta}{1 - r}}. \tag{1.28}\] Задачу можно решить и явно, выписав полные выражения: \[K_{i,2} = r\,K_{i,1} + \Delta, \tag{1.29}\] \[K_{i,3} = r\,K_{i,2} + \Delta = r^2K_{i,1} + (1 + r)\Delta, \tag{1.30}\] \[\ldots\] \[K_{i,n} = r^{n-1}K_{i,1} + (1 + r + \ldots + r^{n-2})\Delta \tag{1.31}\] \[\phantom{K_{i,n}} = r^{n-1}K_{i,1} + \frac{1 - r^{n-1}}{1 - r}\Delta. \tag{1.32}\] В пределе \(n \to \infty\) получаем \[K_{i,n} \to K_{i,0} = \frac{\Delta}{1 - r}, \tag{1.33}\] что, конечно, совпадает с прежним результатом.

Если вычислить изменение кинетической энергии за полный цикл, т. е. от момента непосредственно перед ударом номер \(n\) до момента непосредственно перед ударом \(n + 1\), получим \[\Delta K_{i,n} = K_{i,n+1} - K_{i,n} = (r - 1)r^{n-1}K_{i,1} + r^{n-1}\Delta \tag{1.34}\] \[\phantom{\Delta K_{i,n} = K_{i,n+1} - K_{i,n}} = r^{n-1}\,(\Delta - (1 - r)K_{i,1}). \tag{1.35}\] Это положительно, если начальное значение \(K_{i,1} < K_{i,0}\), так что \(K_{i,n}\) тогда будет возрастать до предельного значения \(K_{i,0}\). Если же, наоборот, \(K_{i,1} > K_{i,0}\), кинетическая энергия \(K_{i,n}\) непосредственно перед ударом будет убывать до предела \(K_{i,0}\).

Всё это может напомнить вам движение с трением, которое растёт со скоростью. С математической точки зрения главное отличие в том, что здесь мы имеем дело с разностными уравнениями, а не с дифференциальными.

e) Для неограниченного продолжения качения предельное значение \(K_i\) из пункта (d) должно быть больше минимального значения, необходимого для продолжения, найденного в пункте (c): \[\frac{1}{1 - r}\Delta = \frac{1}{1 - r}Mga\sin\theta > Mga\,(1 - \cos(30^\circ - \theta))/r. \tag{1.36}\] Положим \(A = \frac{r}{1 - r} = \frac{121}{168}\): \[A\sin\theta > 1 - \cos 30^\circ\cos\theta - \sin 30^\circ\sin\theta, \tag{1.37}\] \[(A + 1/2)\sin\theta + \sqrt3/2\,\cos\theta > 1. \tag{1.38}\] Чтобы решить это неравенство, определим⁴ \[u = \arccos\left(\frac{A + 1/2}{\sqrt{(A + 1/2)^2 + 3/4}}\right) \approx 35{,}36^\circ \tag{1.39}\] и получим \[\cos u\sin\theta + \sin u\cos\theta > 1/\sqrt{(A + 1/2)^2 + 3/4}, \tag{1.40}\] \[\sin(u + \theta) > 1/\sqrt{(A + 1/2)^2 + 3/4}, \tag{1.41}\] \[\theta > \arcsin\{1/\sqrt{(A + 1/2)^2 + 3/4}\} - u \approx 41{,}94^\circ - 35{,}36^\circ = 6{,}58^\circ. \tag{1.42}\] То есть \[\boldsymbol{\theta_0 \approx 6{,}58^\circ}. \tag{1.43}\] Если \(\theta > \theta_0\) и кинетической энергии перед первым ударом достаточно согласно пункту (c), то при сделанных предположениях мы получим неограниченное «качение».