Эволюция системы Земля-Луна

Учёные научились определять расстояние от Луны до Земли с циальных зеркал, установленных на поверхности Луны.

В ходе таких измерений учёные непосредственно определили, что Луна медленно удаляется от Земли. Это происходит потому, что из-за образования приливных волн момент импульса Земли передаётся Луне.

Выпущенный лазерный луч из обсерватории используется для измерения расстояния между Землей и Луной.

Гравитация Луны вызывает приливные деформации или <<выпуклости>> на Земле. Из-за вращения Земли, линия проходящая через выпуклости, не выровнена с линией между Землей и Луной. Это смещение создает крутящий момент, который передает угловой момент от вращения Земли к вращению Луны. Рисунок не в масштабе.

Часть A. Сохранение момента импульса

Пусть \(L_1\)  — полный момент импульса системы Земля-Луна. Сделаем следующие предположения.

1. \(L_1\) определяется только вращением Земли вокруг собственной оси и вращением Луны вокруг Земли.

2. Орбита Луны круговая, и Луна считается материальной точкой.

3. Ось вращения Земли и ось вращения Луны совпадают.

4. Для упрощения расчётов будем считать, что эти оси проходят через центр Земли. Во всех пунктах данной задачи моменты инерции, моменты сил и моменты импульса рассчитываются относительно этой оси.

5. Влиянием Солнца на движение рассматриваемой системы можно пренебречь.

A1. Запишите для настоящего времени выражение для полного момента импульса системы Земля-Луна. Выразите его через момент инерции Земли \(I_E\), угловую скорость вращения Земли \(\omega_{E1}\), момент инерции Луны \(I_{M1}\) относительно земной оси и угловую скорость орбитального движения Луны \(\omega_{M1}\).

Процесс передачи момента импульса от Земли к Луне прекратится, когда земные сутки и период обращения Луны будут иметь одинаковую продолжительность. К этому времени приливные подъёмы воды, которые Луна вызывает на Земле, будут ориентированы вдоль прямой, соединяющей центры Земли и Луны, и поэтому момент силы исчезнет.

A2. Запишите выражение для конечного значения полного момента импульса системы Земля Луна \(L_2\). Используйте те же предположения, что и в пункте A1. Выразите его через момент инерции Земли \(I_E\), конечную угловую скорость вращения Земли и обращения Луны \(\omega_2\) и конечный момент инерции Луны \(I_{M2}\).

A3. Пренебрегая вкладом вращения Земли в конечную величину полного момента импульса, напишите уравнение, выражающее закон сохранения момента импульса.

Часть B. Конечные расстояние и угловая скорость движения системы Земля-Луна

Будем считать, что орбита движения Луны вокруг Земли всё время остаётся круговой. Для конечного состояния:

B1. Запишите уравнение, определяющее закон движения Луны по круговой орбите вокруг Земли. Выразите данное уравнение через расстояние \(D_2\) между центрами Земли и Луны, массу Земли \(M_З\), угловую скорость \(\omega_2\) и гравитационную постоянную \(G\).

B2. Запишите выражения для расстояния между Землей и Луной \(D_2\) и для угловой скорости Земли \(\omega_2\) как функцию полного момента импульса системы \(L_1\), масс Земли и Луны \(M_E\) и \(M_M\) соответственно и гравитационной постоянной \(G\).

B3. Запишите выражение для угловой скорости \(\omega_2\) системы Земля Луна через известные параметры \(L_1\), \(M_E\), \(M_M\) и \(G\).

Найдите численные значения \(D_2\) и \(\omega_2\). Для этого вычислите момент инерции Земли.

B4. Запишите выражение для момента инерции Земли \(I_E\), предполагая, что она является шаром с плотностью \(\rho_1\) от центра до расстояния \(r_1\) и шаровым слоем с плотностью \(\rho_0\) от расстояния \(r_1\) до расстояния до поверхности \(r_0\) (см. рис).

Земля как шар и шаровой слой с двумя плотностями \(\rho_1\) и \(\rho_0\)

B5. Рассчитайте момент инерции Земли \(I_E\), используя следующие численные значения:

\[\rho_1=1.3\cdot 10^4~кг\cdot м^{-3},\ r_1=3.5\cdot10^6~м\] \[\rho_0=4.0\cdot10^3~кг\cdot м^{-3},\ r_0=6.4\cdot10^6~м\]

B6. Оцените численное значение полного момента импульса рассматриваемой системы \(L_1\).

Массы Земли и Луны равны \(M_E=6.0\cdot10^{24}~кг\) и \(M_M=7.3\cdot10^{22}~кг\) соответственно. В настоящее время расстояние между Землей и Луной равно \(D_1=3.8\cdot10^8~м\). Угловая скорость вращения Земли вокруг собственной оси составляет \(\omega_{E1}=7.3\cdot10^{-5}~с^{-1}\). Угловая скорость обращения Луны вокруг Земли \(\omega_{M1}=2.7\cdot10^{-6}~с^{-1}\). Гравитационная постоянная \(G=6.7\cdot10^{-11}~м^3\cdot кг^{-1}\cdot с^{-2}\).

B7. Найдите конечное расстояние \(D_2\) в метрах и в единицах расстояния от Земли до Луны в настоящее время \(D_1\).

B8. Найдите конечную угловую скорость \(\omega_2\) в \(с^{-1}\) и конечную продолжительность суток в единицах нынешних суток.

Убедитесь, что вкладом вращения Земли в полный момент импульса можно пренебречь. Для этого найдите отношение конечного момента импульса Земли к моменту импульса Луны. Это должна быть малая величина.

B9. Найдите отношение конечного углового момента Земли к конечному угловому моменту Луны.

Часть C. Насколько Луна удаляется за год?

Теперь найдите, насколько Луна удаляется от Земли каждый год. Для этого определите момент силы, действующей на Луну в настоящее время. Предположите, что приливные волны можно заменить двумя материальными точками массами \(m\), расположенными на поверхности Земли (см. рис). Пусть \(\theta\) — угол между линией, соединяющей места наибольшего подъёма, и линией, соединяющей центры Земли и Луны.

Схема для определения моментов сил, которые действуют на Луну и вызываются подъёмом воды на Земле

C1. Найдите модуль силы \(F_c\) действующей на Луну со стороны ближайшей к ней точечной массы.

C2. Найдите модуль силы \(F_f\), действующей на Луну со стороны отдалённой от неё точечной массы.

C3. Найдите модуль c \(\tau_c\) момента силы, действующего на Луну со стороны ближайшей к ней точечной массы.

C4. Найдите модуль \(\tau_f\) момента силы, действующего на Луну со стороны отдалённой от неё точечной массы.

C5. Найдите полный момент силы \(\tau\) от двух масс. Так как \(\tau_0\ll D_1\), выпишите выражение до первого значимого порядка по \(r_0/D_1\). Считайте, что \((1+x)^a\approx 1+ ax\) при \(x\ll 1\).

C6. Вычислите численное значение полного момента силы, принимая во внимание, что \(\theta=3^{\circ}\) и \(m=3.6\cdot 10^{16}~кг\) (заметьте, что эта масса составляет примерно \(10^{-8}\) от массы Земли).

Найдите, насколько в настоящее время расстояние от Земли до Луны изменяется за год. Для этого выразите момент импульса Луны через \(D_1\), \(M_E\), \(M_M\) и \(G\).

C7. Найдите численное значение увеличения расстояния между Землёй и Луной за год в настоящее время.

C8. Найдите численное значение уменьшения угловой скорости вращения Земли \(\omega_{E1}\) и увеличение продолжительности земных суток за год.

Часть D. Куда уходит энергия?

В противоположность моменту импульса, который сохраняется, полная энергия системы не сохраняется.

D1. Запишите выражение для полной (кинетической и гравитационной) энергии \(E\) системы Земля Луна в настоящее время. Выразите его через \(I_E\), \(\omega_{E1}\) \(M_E\), \(M_M\), \(D_1\) и \(G\).

D2. Запишите выражение для изменения \(\Delta E\) этой энергии \(E\) как функцию изменения параметров \(D_1\) и \(\omega_{E1}\). Оцените численное значение величины \(\Delta E\) за год, используя величины изменения \(D_1\) и \(\omega_{E1}\), найденные в пунктах C7 и C8.

Проверьте, что эти потери энергии связаны с переходом механической энергии в тепловую в процессе подъёма и опускания воды в каждой приливной волне. Считайте, что изменение потенциальной энергии при подъёме одного горба приливной волны эквивалентно подъёму слоя воды толщиной \(h=0.5~м\), покрывающего всю поверхность Земли (для упрощения можно считать, что вся Земля покрыта водой) в среднем на высоту \(0.5~м\). Это случается дважды в день. Далее считайте, что \(10\%\) этой гравитационной энергии переходит в теплоту благодаря наличию вязкости при опускании воды. Считайте плотность воды равной \(\rho_в=1.0\cdot 10^3~кг\cdot м^{-3}\), ускорение свободного падения на поверхности Земли \(g=9.8~м\cdot с^{-2}\).

D3. Чему равна масса этого поверхностного слоя воды?

D4. Вычислите величину потери этой энергии за год. Сравните полученное значение с потерями энергии, рассчитанными ранее (в п. D2).