Когда Луна станет синхронным спутником?

Полный момент импульса системы Земля — Луна сохраняется; орбитальную часть удобно выразить через угловую скорость \(\omega\) Луны с помощью третьего закона Кеплера. Во втором пункте получится уравнение на \(\omega\), которое решается итерациями, в третьем — уравнение \(d\omega/dt = b\,\omega^{16/3}\).

(1) Полный орбитальный момент импульса \(\vec L = L\,\hat z\) системы Земля — Луна относительно \(C\) можно вычислить следующим образом.

Поскольку все моменты импульса направлены вдоль оси \(z\), будем вычислять только \(z\)-компоненту каждого момента импульса. Расстояние между центром масс \(C\) и центром Земли \(O\) равно \[r_{CM} = \frac{Mr_0}{M+M_E} = \frac{3{,}85\times10^8}{1+(597/7{,}35)} = 4{,}68\times10^6\text{ м} = 0{,}735\,R_E .\] Угловая скорость обращения Луны \[\omega_0 = \frac{2\pi}{27{,}322\times86400} = 2{,}6617\times10^{-6}\text{ рад/с}. \tag{1a}\] Орбитальный момент импульса Луны относительно \(C\) \[\ell_M = M(r_0-r_{CM})^2\omega_0 = 7{,}35\times(385-4{,}68)^2\times2{,}6617\times10^{28} = 2{,}83\times10^{34}\text{ кг}\cdot\text{м}^2/\text{с}.\] Угловая скорость собственного вращения Луны \[\Omega_M = \omega_0 = 2{,}6617\times10^{-6}\text{ рад/с}.\] Собственный (спиновый) момент импульса Луны \[S_M = \frac{2}{5}MR_M^2\Omega_M = \frac{2}{5}\times7{,}35\times(1{,}74)^2\times2{,}6617\times10^{28} = 2{,}37\times10^{29}\text{ кг}\cdot\text{м}^2/\text{с} = 8{,}40\times10^{-6}\,\ell_M .\] Он много меньше орбитального момента импульса Луны, и поэтому им можно пренебречь.

Орбитальный момент импульса Земли относительно \(C\) \[\ell_E = M_E r_{CM}^2\omega_0 = \frac{M}{M_E}\,\ell_M = \frac{7{,}35}{597}\times2{,}83\times10^{34} = 3{,}48\times10^{32}\text{ кг}\cdot\text{м}^2/\text{с}.\] Угловая скорость собственного вращения Земли \[\Omega_E = \frac{2\pi}{23{,}933\times3600} = 7{,}2926\times10^{-5}\text{ рад/с}.\] Момент инерции Земли относительно её оси вращения \[I = \frac{2}{5}M_E R_E^2 = 0{,}4\times5{,}97\times(6{,}37)^2\times10^{36} = 9{,}69\times10^{37}\text{ км}\cdot\text{м}^2/\text{с} \tag{1b}\]

Собственный момент импульса Земли \[S_E = \frac{2}{5}M_E R_E^2\Omega_E = 7{,}07\times10^{33}\text{ кг}\cdot\text{м}^2/\text{с} = 20{,}3\,\ell_E .\] Таким образом, полный момент импульса системы Земля — Луна \(L\) равен \[\begin{aligned} L &= (\ell_M + \ell_E + S_E + S_M) \\ &= (2{,}83 + 0{,}0348 + 0{,}707 + 0{,}0000237)\times10^{34} \\ &= 3{,}57\times10^{34}\text{ кг}\cdot\text{м}^2/\text{с}. \end{aligned} \tag{2}\] Заметим, что \(L \approx (\ell_M + \ell_E + S_E)\).

(2) Согласно ньютоновской форме третьего закона Кеплера для движения планет, угловая скорость \(\omega\) обращения Луны вокруг Земли связана с расстоянием Земля — Луна \(r\) соотношением \[\omega^2 r^3 = G(M_E+M). \tag{3}\] Поэтому орбитальный момент импульса системы Земля — Луна относительно \(C\) равен \[\ell = \left(\frac{M_E M}{M+M_E}\right)r^2\omega = MM_E\left(\frac{G^2}{\omega(M+M_E)}\right)^{1/3}. \tag{4}\] (Заметим: \(\ell_M = M\left(\dfrac{M_E r}{M+M_E}\right)^2\omega\), \(\ell_E = M_E\left(\dfrac{M r}{M+M_E}\right)^2\omega\), так что \(\ell = \ell_E + \ell_M\).)

Когда угловая скорость вращения Земли станет равна угловой скорости \(\omega\) обращения Луны, полный момент импульса системы Земля — Луна, если пренебречь собственным моментом импульса Луны, будет равен \[\begin{aligned} (\ell_M + \ell_E + S_E) &= MM_E\left\{\frac{G^2}{(M+M_E)\omega}\right\}^{1/3} + \frac{2}{5}M_E R_E^2\omega \\ &= 7{,}35\times5{,}97\times\left\{\frac{66{,}726\times66{,}726}{(5{,}97+0{,}0735)\omega}\right\}^{1/3}\times10^{30} + 9{,}69\times10^{37}\omega \\ &= 3{,}96\times10^{32}\omega^{-1/3} + 9{,}69\times10^{37}\omega = 3{,}57\times10^{34}. \end{aligned} \tag{5a}\] Последнее равенство следует из закона сохранения полного момента импульса и уравнения (2).

Для начальной оценки \(\omega\) собственным моментом импульса Земли в (5a) можно пренебречь, что даёт \[\omega \approx \omega_1 = \left(\frac{3{,}96}{357}\right)^3 = 1{,}36\times10^{-6}\text{ рад/с}\quad\text{(первая итерация)}.\] Улучшенную оценку можно получить, если по найденному значению \(\omega_1\) вычислить собственный момент импульса Земли и снова решить уравнение (5a) относительно \(\omega\). Результат: \[\omega \approx \omega_f = \left(\frac{3{,}96}{358}\right)^3 = 1{,}35\times10^{-6}\text{ рад/с}\quad\text{(вторая итерация)}. \tag{5b}\] Дальнейшие итерации той же процедуры приводят к тому же значению. Таким образом, период вращения Земли будет равен \[T_f = \frac{2\pi}{\omega_f} = \frac{6{,}2832}{1{,}35\times10^{-6}\times86400} = 53{,}9\text{ суток}.\]

(3) Поскольку полный момент сил \(\Gamma\) пропорционален \(1/r^6\), заключаем, что \[r^6\,\Gamma = \text{const}. \tag{6}\]

На рисунке: Earth — Земля, Moon — Луна.

Пусть нынешние значения \(r\) и \(\Gamma\) равны соответственно \(r_0\) и \(\Gamma_0\). Тогда из (6) имеем \[\Gamma = \left(\frac{r_0}{r}\right)^6\Gamma_0 . \tag{7}\] Момент сил \(\Gamma\) равен скорости изменения собственного момента импульса Земли \(I\Omega\), так что \[I\frac{d\Omega}{dt} = \Gamma . \tag{8}\] По третьему закону Ньютона или по закону сохранения полного момента импульса \(-\Gamma\) равно скорости изменения полного орбитального момента импульса \(\ell\) системы Земля — Луна, так что \[\frac{d\ell}{dt} = -\Gamma . \tag{9}\] Но согласно (3) \[\omega^2 r^3 = G(M_E+M),\] и уравнение (4) можно записать в виде \[\begin{aligned} \ell &= \left(\frac{MM_E}{M_E+M}\right)\omega r^2 = MM_E\left(\frac{G}{M_E+M}\right)^{1/2} r^{1/2} \\ &= MM_E\left(\frac{G^2}{M_E+M}\right)^{1/3}\omega^{-1/3}. \end{aligned} \tag{10}\] Отсюда \[\begin{aligned} \frac{d\ell}{dt} &= MM_E\left(\frac{G}{M_E+M}\right)^{1/2}\frac{1}{2r^{1/2}}\frac{dr}{dt} \\ &= -\frac{1}{3}MM_E\left(\frac{G^2}{M_E+M}\right)^{1/3}\frac{1}{\omega^{4/3}}\frac{d\omega}{dt} = -\Gamma . \end{aligned} \tag{11a}\] Значение \(\Gamma_0\) можно определить из (11a) следующим образом: \[\begin{aligned} -\Gamma_0 &= \left(\frac{d\ell}{dt}\right)_0 = \frac{1}{2}MM_E\sqrt{\frac{G}{(M_E+M)r_0}}\left(\frac{dr}{dt}\right)_0 \\ &= \frac{1}{2}\times7{,}35\times5{,}97\times10^{46}\cdot\sqrt{\frac{66{,}7\times10^{-44}}{(0{,}0735+5{,}97)\times(3{,}85)}}\cdot\frac{3{,}8\times10^{-8}}{3{,}65\times8{,}64} \\ &= 4{,}5\times10^{16}\text{ Н}\cdot\text{м}. \end{aligned} \tag{13}\] Исходя из (11a) в виде \[\frac{d\ell}{dt} = -\frac{1}{3}MM_E\left(\frac{G^2}{(M_E+M)}\right)^{1/3}\frac{1}{\omega^{4/3}}\frac{d\omega}{dt} = -\left(\frac{r_0}{r}\right)^6\Gamma_0 ,\] можно с помощью (3) выразить \(r\) через \(\omega\) и получить следующие уравнения: \[\frac{1}{3}MM_E\left(\frac{G^2}{(M_E+M)}\right)^{1/3}\left(\frac{d\omega}{dt}\right) = \frac{(r_0)^6\Gamma_0}{\{G(M_E+M)\}^2}\,\omega^{16/3},\] \[\frac{d\omega}{dt} = \left[\frac{3(r_0)^6\Gamma_0}{GM_EM\{G(M_E+M)\}^{5/3}}\right]\omega^{16/3} = b\,\omega^{16/3},\] где постоянная \(b\) обозначает выражение в квадратных скобках. Последнее уравнение приводит к решению \[(\omega_f)^{-13/3} - (\omega_0)^{-13/3} = \frac{-13b}{3}(t_f - 0),\] где \(t_f\) — время, за которое угловая скорость вращения Земли станет равна угловой скорости обращения Луны вокруг Земли.

Используя значения \(\omega_f\) и \(\omega_0\), полученные в (1a) и (5b), и значение \(\Gamma_0\) из (13), имеем \[\frac{-3}{13b} = \frac{GM_EM\{G(M_E+M)\}^{5/3}}{13(r_0)^6(-\Gamma_0)} = 3{,}4\times10^{-8},\] \[\begin{aligned} t_f &= \frac{-3}{13b}\left(\omega_f^{-13/3} - \omega_0^{-13/3}\right) = 3{,}4\times\{(1{,}35)^{-13/3} - (2{,}6617)^{-13/3}\}\times10^{18} \\ &= 3{,}4\times10^{18}\times(0{,}254 - 0{,}014376) \\ &= 8{,}1\times10^{17}\text{ секунд} \\ &= 2{,}6\times10^{10}\text{ лет}. \end{aligned}\]