Движение электрического диполя в магнитном поле

Сила, действующая на диполь, равна \(q\,\dot{\vec\ell}\times\vec B\) — полная производная, поэтому сохраняется не \(M\vec v_{CM}\), а \(M\vec v_{CM} - q\vec\ell\times\vec B\). Энергия сохраняется, так как магнитная сила работы не совершает; из этих двух законов получается уравнение для угла поворота диполя.

(1) Законы сохранения

(1a) \[\vec r_{CM} = \frac12(\vec r_1+\vec r_2),\quad \vec v_{CM} = \frac12(\vec v_1+\vec v_2),\quad \vec\ell = \vec r_1-\vec r_2,\quad \vec u = \dot{\vec\ell} = \vec v_1-\vec v_2 .\] Полная сила \(\vec F\), действующая на диполь, \[\begin{aligned} \vec F &= \vec F_1+\vec F_2 = q(\vec E+\vec v_1\times\vec B) + (-q)(\vec E+\vec v_2\times\vec B) = q(\vec v_1-\vec v_2)\times\vec B \\ &= q\dot{\vec\ell}\times\vec B , \end{aligned}\] так что \[M\dot{\vec v}_{CM} = q\dot{\vec\ell}\times\vec B \qquad (M = 2m). \tag{1}\] Вычисляя момент сил для вращения вокруг центра масс, получаем \[\begin{aligned} I\dot{\vec\omega} &= \left(\frac{\vec\ell}{2}\right)\times(q\vec v_1\times\vec B) + \left(\frac{-\vec\ell}{2}\right)\times(-q\vec v_2\times\vec B) \\ &= q\vec\ell\times(\vec v_{CM}\times\vec B), \end{aligned} \tag{2}\] где \[I = \frac12 m\ell^2 . \tag{3}\]

(1b) Из уравнения (1) получаем закон сохранения импульса: \[\dot{\vec P} = 0,\qquad \vec P = M\vec v_{CM} - q\vec\ell\times\vec B . \tag{4}\] Из уравнений (1) и (2) получается закон сохранения энергии: \[\dot E = 0,\qquad E = \frac12 Mv_{CM}^2 + \frac12 I\omega^2 . \tag{5}\]

(1c) Используя уравнения (4) и (2), \[\begin{aligned} \frac{d}{dt}(\vec r_{CM}\times\vec P)\cdot\hat B &= (\vec v_{CM}\times\vec P)\cdot\hat B = -q\vec v_{CM}\times(\vec\ell\times\vec B)\cdot\hat B \\ &= q(\vec\ell\times\vec B)\times\vec v_{CM}\cdot\hat B = q(\vec\ell\times\vec B)\cdot(\vec v_{CM}\times\hat B) \\ &= q\vec\ell\cdot(\vec B\times(\vec v_{CM}\times\hat B)) = -q\vec\ell\cdot((\vec v_{CM}\times\vec B)\times\hat B) \\ &= -q\vec\ell\times(\vec v_{CM}\times\vec B)\cdot\hat B \\ &= -I\dot{\vec\omega}\cdot\hat B , \end{aligned}\] получаем закон сохранения \[\dot J = 0,\qquad J = (\vec r_{CM}\times\vec P + I\vec\omega)\cdot\hat B \tag{6}\] для проекции момента импульса на направление \(\vec B\).

(2) Движение в плоскости, перпендикулярной \(\vec B\)

(2a) Запишем \[\vec\ell = \ell\{\cos\varphi(t)\,\hat x + \sin\varphi(t)\,\hat y\},\qquad \varphi(0) = 0,\quad \dot\varphi(0) = \omega_0 . \tag{7}\] Заметим, что \[\vec\omega = \dot\varphi\,\hat z . \tag{8}\] Из уравнения (4) имеем \[M\vec v_{CM} = \vec P + q\ell B(\sin\varphi\,\hat x - \cos\varphi\,\hat y). \tag{9}\] При \(t = 0\) имеем \(v_{CM} = 0\), \(\varphi = 0\), так что \[\vec P = q\ell B\,\hat y . \tag{10}\] Отсюда из уравнений (9) и (10) имеем \[\dot x_{CM} = \left(\frac{q\ell B}{M}\right)\sin\varphi,\qquad \dot y_{CM} = \left(\frac{q\ell B}{M}\right)(1-\cos\varphi). \tag{11}\] Из закона сохранения энергии, т. е. уравнения (5), имеем \[\frac12 I\dot\varphi^2 + \frac{(q\ell B)^2}{M}(1-\cos\varphi) = \frac12 I\omega_0^2 ,\] \[\therefore\quad \dot\varphi^2 + \frac12\omega_c^2(1-\cos\varphi) = \omega_0^2 , \tag{12}\] где \[\omega_c^2 = \frac{4(q\ell B)^2}{MI} = \left(\frac{2qB}{m}\right)^2 . \tag{13}\] Чтобы диполь сделал полный оборот, \(\dot\varphi\) не может обращаться в нуль, так что \[\omega_0^2 > \omega_c^2 \;\Rightarrow\; |\omega_0| > \omega_c = \frac{2qB}{m}. \tag{14}\]

(2b) Из уравнения (6) имеем \[x_{CM}P + I\omega = J , \tag{15}\] где \(P\) — модуль \(\vec P\). При \(t = 0\) имеем \(J = I\omega_0\), так что \[x_{CM}P + I\omega = I\omega_0 . \tag{16}\] Из уравнения (12) видно, что \(\omega_0^2 \ge \omega^2\), так что \(x_{CM} \ge 0\). Следовательно, \(x_{CM}\) достигает максимума \(d_m\), когда \(\omega\) принимает минимальное значение.

При \(\omega_0 < \omega_c\) минимальное значение \(\omega\) равно \(-\omega_0\), так что \[d_m = \frac{2I}{P}\omega_0 = \left(\frac{m\omega_0}{qB}\right)\ell,\qquad \omega_0 < \omega_c . \tag{17}\] При \(\omega_0 > \omega_c\) минимальное значение \(\omega\) равно \(\sqrt{\omega_0^2-\omega_c^2}\), так что \[d_m = \left(\frac{I}{P}\right)\left(\omega_0 - \sqrt{\omega_0^2-\omega_c^2}\right) = \frac{m}{2qB}\left(\omega_0 - \sqrt{\omega_0^2-\omega_c^2}\right)\ell,\qquad \omega_0 > \omega_c . \tag{18}\] При \(\omega_0 = \omega_c\) \[\omega^2 = \frac12\omega_c^2(1+\cos\varphi) = \omega_c^2\cos^2\frac{\phi}{2},\] \[\therefore\quad \dot\varphi = \omega_c\cos\frac{\phi}{2}.\] Когда \(\varphi\) близко к \(\pi\), положим \(\varphi = \pi - 2\varepsilon\); тогда \[\dot\varepsilon = -\frac12\omega_c\sin\varepsilon \approx -\frac12\omega_c\varepsilon ,\] \[\therefore\quad \varepsilon \sim e^{-\omega_c t/2},\] так что потребуется \(t\to\infty\), чтобы \(\varepsilon\to0\), т. е. чтобы \(\varphi\) достигло \(\pi\). Следовательно, \[d_m = \left(\frac{I}{P}\right)\omega_c = \left(\frac{m\omega_c}{2qB}\right)\ell,\qquad \omega_0 = \omega_c . \tag{19}\]

(2c) Сила натяжения стержня складывается из трёх составляющих:

(i) Кулоновская сила \[= \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q^2}{\ell^2}. \tag{20}\] Положительное значение означает сжатие стержня.

(ii) Центробежная сила, обусловленная вращением стержня, \[= -\frac12 m\omega^2\ell . \tag{21}\]

(iii) Магнитная сила, действующая на частицы из-за движения центра масс, \[= q\vec v_{CM}\times\vec B\cdot(-\hat\ell) = q\vec v_{CM}\cdot\hat\ell\times\vec B .\] Возводя обе части уравнения (4) в квадрат и используя начальное условие для значения \(P^2\), получаем \[\frac12 Mv_{CM}^2 = q\ell\vec v_{CM}\cdot\hat\ell\times\vec B = \frac12 I(\omega_0^2-\omega^2). \tag{22}\] Складывая три силы, получаем \[\text{сила натяжения стержня} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q^2}{\ell^2} - \frac12 m\ell\omega^2 + \frac14 m\ell(\omega_0^2-\omega^2). \tag{23}\] Положительное значение означает сжатие стержня.