Электроны в магнитном поле

Период вращения электрона вокруг силовой линии не зависит от поперечной скорости, поэтому все электроны пучка снова сходятся в точку через один и тот же путь вдоль поля. Без отклоняющего поля сохраняются энергия и момент импульса относительно оси тороида, а \(v_z\) связана с радиальным смещением через \(z\)-составляющую силы Лоренца.

1. Определение \(B\).

Вектор скорости любого электрона разложим на составляющие, параллельную и перпендикулярную магнитному полю \(\vec B\): \[\vec v = \vec v_\parallel + \vec v_\perp. \qquad (1)\] Сила Лоренца \(\vec F = -e\cdot(\vec v\times\vec B)\) действует только на перпендикулярную составляющую, она играет роль центростремительной силы: \[m\cdot\frac{v_\perp^2}{r} = e\cdot v_\perp\cdot B. \qquad (2)\] Отсюда радиус описываемой окружности \[r = \frac{m}{e}\cdot\frac{v_\perp}{B}, \qquad (3)\] а период обращения, не зависящий от \(v_\perp\), \[T = \frac{2\cdot\pi\cdot r}{v_\perp} = \frac{2\cdot\pi\cdot m}{B\cdot e}. \qquad (4)\] Параллельная составляющая скорости не меняется. Поскольку \(\alpha_0 \ll 1\), она приблизительно одинакова для всех электронов: \[v_{\parallel 0} = v_0\cdot\cos\alpha_0 \approx v_0. \qquad (5)\] Поэтому расстояние \(b\) между точками фокусировки, с учётом (5), равно \[b = v_{\parallel 0}\cdot T \approx v_0\cdot T. \qquad (6)\] Из закона сохранения энергии следует связь между ускоряющим напряжением \(V_0\) и скоростью \(v_0\): \[\frac{m}{2}\cdot v_0^2 = e\cdot V_0. \qquad (7)\] Используя (7) и (4), из (6) получаем \[b = \frac{2\cdot\pi}{B}\cdot\sqrt{2\cdot\frac{m}{e}\cdot V_0}, \qquad (8)\] а поскольку \(b = \dfrac{2\cdot\pi\cdot R}{4}\), получаем \[B = \frac{4}{R}\cdot\sqrt{2\cdot\frac{m}{e}\cdot V_0} = 1{,}48\cdot 10^{-2}~\frac{\text{В}\cdot\text{с}}{\text{м}^2}. \qquad (9)\]

2. Определение \(B_1\).

Аналогично (2) должно выполняться \[m\cdot\frac{v_0^2}{R} = e\cdot v_0\cdot B_1. \qquad (10)\] Из (7) следует \[B_1 = \frac{1}{R}\cdot\sqrt{2\cdot\frac{m}{e}\cdot V_0} = 0{,}37\cdot 10^{-2}~\frac{\text{В}\cdot\text{с}}{\text{м}^2}. \qquad (11)\]

3. Конечность \(r_1\) и направление скорости дрейфа.

Силовые линии магнитного поля — окружности с центрами на оси симметрии тороида (оси \(z\)).

В соответствии с симметрией задачи введём в плоскости, перпендикулярной оси \(z\), полярные координаты \(r\) и \(\varphi\) (см. рисунок ниже) и разложим входящие в задачу векторные величины (скорость, магнитное поле \(\vec B\), силу Лоренца) на соответствующие составляющие.

Поскольку углом раствора пучка можно пренебречь, рассмотрим один электрон, инжектированный в тороид по касательной со скоростью \(v_0\) на радиусе \(R\).

В статическом магнитном поле кинетическая энергия сохраняется, поэтому \[E = \frac{m}{2}\left(v_r^2 + v_\varphi^2 + v_z^2\right) = \frac{m}{2}v_0^2. \qquad (12)\] Радиальные точки поворота электрона определяются условием \[v_r = 0.\] Используя (12), получаем \[v_0^2 = v_\varphi^2 + v_z^2. \qquad (13)\] Одна такая точка поворота, очевидно, \[r = R\cdot\left(v_\varphi = v_0,\ v_r = 0,\ v_z = 0\right).\] Чтобы найти другие точки поворота и тем самым максимальное радиальное отклонение электрона, составляющие скорости \(v_\varphi\) и \(v_z\) в (13) нужно выразить через радиус.

\(v_\varphi\) находим из закона сохранения момента импульса. Сила Лоренца, очевидно, не имеет составляющей в направлении \(\varphi\) (параллельном магнитному полю). Поэтому она не может создать момент сил относительно оси \(z\). Отсюда следует, что \(z\)-составляющая момента импульса постоянна, т. е. \(L_z = m\cdot v_\varphi\cdot r = m\cdot v_0\cdot R\), и, следовательно, \[v_\varphi = v_0\cdot\frac{R}{r}. \qquad (14)\] \(v_z\) находим из уравнения движения вдоль оси \(z\). \(z\)-составляющая силы Лоренца \(F_z = -e\cdot B\cdot v_r\). Поэтому ускорение вдоль оси \(z\) \[a_z = -\frac{e}{m}\cdot B\cdot v_r. \qquad (15)\] Это значит, что, поскольку \(B\) считается постоянным, изменение \(v_z\) связано с изменением \(r\) так: \[\Delta v_z = -\frac{e}{m}\cdot B\cdot\Delta r.\] Так как \(\Delta r = r - R\) и \(\Delta v_z = v_z\), находим \[v_z = -\frac{e}{m}\cdot B\cdot(r - R). \qquad (16)\] Используя (14) и (15), из (13) получаем

\[1 = \left(\frac{R}{r}\right)^2 + A^2\cdot\left(\frac{r}{R} - 1\right)^2, \qquad (17)\] где \(A = \dfrac{e}{m}\cdot B\cdot\dfrac{R}{v_0}\).

Исследование кривой в правой части (17) даёт качественный результат, показанный на диаграмме:

Следовательно, \(r_1\) конечно. Поскольку \(R \le r \le r_1\), из (16) следует \(v_z < 0\). Значит, дрейф направлен в сторону отрицательной оси \(z\).