Бесконечная LC-цепочка

Подсказка

Запишите правила Кирхгофа для узла и для контура одного звена, считая напряжение на \(n\)-м конденсаторе равным \(V_0\sin(\omega t + n\varphi)\). Требование, чтобы закон для токов выполнялся в любой момент, связывает \(\varphi\) с \(\omega\). Для механического аналога выразите энергию через заряды, прошедшие через катушки.

Решение

а)

Закон для токов: \[I_{L_{n-1}} + I_{C_n} - I_{L_n} = 0. \qquad (1)\] Закон для напряжений: \[V_{C_{n-1}} + V_{L_{n-1}} - V_{C_n} = 0. \qquad (2)\] Падение напряжения на конденсаторе: \[V_{C_{n-1}} = \frac{1}{\omega\cdot C}\cdot\tilde I_{C_{n-1}}. \qquad (3)\] Примечание: в (3) используется \(\tilde I_{C_{n-1}}\) вместо \(I_{C_{n-1}}\), так как ток опережает напряжение на \(90^\circ\).

Падение напряжения на катушке: \[V_{L_{n-1}} = \omega\cdot L\cdot\tilde I_{L_{n-1}}. \qquad (4)\] Примечание: в (4) используется \(\tilde I_{L_{n-1}}\) вместо \(I_{L_{n-1}}\), так как ток отстаёт от напряжения на \(90^\circ\).

Напряжение \(V_{C_n}\) равно \[V_{C_n} = V_0\cdot\sin(\omega\cdot t + n\cdot\varphi). \qquad (5)\] Формула (5) следует из условия задачи.

Из (3) и (5): \[I_{C_n} = \omega\cdot C\cdot V_0\cdot\cos(\omega\cdot t + n\cdot\varphi). \qquad (6)\] Из (4) и (2) с учётом (5): \[I_{L_{n-1}} = \frac{V_0}{\omega\cdot L}\cdot\left[2\cdot\sin\left(\omega\cdot t + \left(n - \frac{1}{2}\right)\cdot\varphi\right)\cdot\sin\frac{\varphi}{2}\right], \qquad (7)\] \[I_{L_n} = \frac{V_0}{\omega\cdot L}\cdot\left[2\cdot\sin\left(\omega\cdot t + \left(n + \frac{1}{2}\right)\cdot\varphi\right)\cdot\sin\frac{\varphi}{2}\right]. \qquad (8)\] Выражения (6), (7) и (8) должны удовлетворять закону для токов. Это даёт зависимость \(\varphi\) от \(\omega\), \(L\) и \(C\): \[0 = V_0\cdot\omega\cdot C\cdot\cos(\omega\cdot t + n\cdot\varphi) + 2\cdot\frac{V_0}{\omega\cdot L}\cdot\sin\frac{\varphi}{2}\cdot\left[2\cdot\cos(\omega\cdot t + n\cdot\varphi)\cdot\sin\left(-\frac{\varphi}{2}\right)\right].\] Это условие должно выполняться в любой момент времени. Поэтому на \(V_0\cdot\cos(\omega\cdot t + n\cdot\varphi)\) можно разделить.

Отсюда \(\omega^2\cdot L\cdot C = 4\cdot\sin^2\left(\dfrac{\varphi}{2}\right)\). Результат: \[\varphi = 2\cdot\arcsin\left(\frac{\omega\cdot\sqrt{L\cdot C}}{2}\right) \quad\text{при}\quad 0 \le \omega \le \frac{2}{\sqrt{L\cdot C}}. \qquad (9)\]

б) Расстояние \(\ell\) проходится за время \(\Delta t\), поэтому скорость распространения \[v = \frac{\ell}{\Delta t} = \frac{\omega\cdot\ell}{\varphi} \quad\text{или}\quad v = \frac{\omega\cdot\ell}{2\cdot\arcsin\left(\frac{\omega\cdot\sqrt{L\cdot C}}{2}\right)}. \qquad (10)\]

в)

Слабая зависимость означает \(\arcsin\left(\dfrac{\omega\cdot\sqrt{L\cdot C}}{2}\right) \sim \omega\), так как в этом случае \(v\) постоянна.

Это верно только при малых \(\omega\). Это значит, что \(\dfrac{\omega\cdot\sqrt{L\cdot C}}{2} \ll 1\), и поэтому \[v_0 = \frac{\ell}{\sqrt{L\cdot C}}. \qquad (11)\]

г) Энергия сохраняется, поскольку в цепи есть только индуктивности и ёмкости. В обозначениях пункта а) получаем энергию конденсаторов \[W_C = \sum_n \frac{1}{2}\cdot C\cdot V_{C_n}^2 \qquad (12)\] и энергию катушек \[W_L = \sum_n \frac{1}{2}\cdot L\cdot I_{L_n}^2. \qquad (13)\] Отсюда следует стандартная форма закона сохранения энергии \[W_C = \sum_n \frac{1}{2}\left(C\cdot V_{C_n}^2 + L\cdot I_{L_n}^2\right). \qquad (14)\]

Связь с механикой так не видна, поскольку входят две разные физические величины (\(V_{C_n}\) и \(I_{L_n}\)) и нет ничего, что соответствовало бы связи между координатой \(x\) и скоростью \(v = \dot x\).

Чтобы получить аналогию с механикой, энергию нужно описать через заряд \(Q\), ток \(I = \dot Q\) и постоянные \(L\) и \(C\). Для этого напряжение \(V_{C_n}\) нужно выразить через заряды \(Q_{L_n}\), прошедшие через катушку.

Получаем: \[W = \sum_n\left[\underbrace{\frac{L}{2}\cdot\dot Q_{L_n}^2}_{A} + \underbrace{\frac{1}{2\cdot C}\left(Q_{L_n} - Q_{L_{n-1}}\right)^2}_{B}\right]. \qquad (15)\] Механический аналог:

A (кинетическая часть):  \(\dot Q_{L_n} \longrightarrow v_n\);  \(L \longrightarrow m\).

B (потенциальная часть):  \(Q_{L_n} \longrightarrow x_n\).

\(x_n\) — смещение, \(v_n\) — скорость.

Однако \(Q_{L_n}\) может быть и другой величиной (например, углом). \(L\) может быть, например, моментом инерции.

Из структуры задачи следует: взаимодействие только с ближайшим соседом (сила растёт линейно с расстоянием). Возможная модель:

На рисунке: spring — пружина.

Другая модель:

На рисунке: Torsion spring — пружина кручения, rigid disk — жёсткий диск.