Задачи › Адиабатический процесс

Поднимающийся влажный воздух

  1. Поднимающийся влажный воздух

    IPhO 1986/87, 11 кл.
    4/10

    Влажный воздух адиабатически переваливает через горный хребет, как показано на рисунке.

    На метеостанциях M\(_0\) и M\(_3\) измерено одинаковое атмосферное давление \(100~\text{кПа}\), а на станции M\(_2\) — давление \(70~\text{кПа}\). Температура воздуха в M\(_0\) равна \(20~^\circ\text{C}\).

    Когда воздух поднимается, при давлении \(84{,}5~\text{кПа}\) начинается образование облаков.

    Рассмотрим поднимающуюся по склону массу влажного воздуха — \(2000~\text{кг}\) над каждым квадратным метром. Этот влажный воздух достигает гребня хребта (станция M\(_2\)) через \(1500\) секунд. За время подъёма из каждого килограмма воздуха в виде дождя выпадает \(2{,}45~\text{г}\) воды.

    Рисунок

    1. Определите температуру \(T_1\) в точке M\(_1\), где образуется нижняя граница облаков.

    2. Какова высота \(h_1\) (в M\(_1\)) нижней границы облаков над станцией M\(_0\), если считать, что плотность атмосферы убывает линейно?

    3. Какая температура \(T_2\) измеряется на гребне хребта?

    4. Определите высоту столба воды (слой осадков), выпавшей из воздушного потока за 3 часа, считая, что дождь между точками M\(_1\) и M\(_2\) выпадает равномерно.

    5. Какая температура \(T_3\) измеряется за хребтом, на станции M\(_3\)? Обсудите состояние атмосферы на станции M\(_3\) по сравнению со станцией M\(_0\).

    Указания и данные

    Атмосферу следует рассматривать как идеальный газ. Влиянием водяного пара на удельную теплоёмкость и плотность атмосферы следует пренебречь; то же относится к зависимости удельной теплоты парообразования от температуры. Температуры нужно определить с точностью до \(1~\text{К}\), высоту нижней границы облаков — с точностью до \(10~\text{м}\), слой осадков — с точностью до \(1~\text{мм}\).

    Удельная теплоёмкость атмосферы в рассматриваемом диапазоне температур: \[c_p = 1005~\text{Дж}\cdot\text{кг}^{-1}\cdot\text{К}^{-1}.\] Плотность атмосферы при \(p_0\) и \(T_0\) на станции M\(_0\): \(\rho_0 = 1{,}189~\text{кг}\cdot\text{м}^{-3}\).

    Удельная теплота парообразования воды в объёме облака: \[L_v = 2500~\text{кДж}\cdot\text{кг}^{-1}.\] \[\frac{c_p}{c_v} = \chi = 1{,}4 \quad\text{и}\quad g = 9{,}81~\text{м}\cdot\text{с}^{-2}.\]

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    До начала конденсации подъём — сухая адиабата \(T \propto p^{1 - 1/\chi}\). Выше нижней границы облаков к адиабатическому охлаждению добавляется нагрев теплотой конденсации выпавшей воды. Спуск за хребтом — снова сухая адиабата.

    Ответ

    1) \(T_1 = 279~\text{К}\);  2) \(h_1 = 1410~\text{м}\);  3) \(T_2 = 271~\text{К}\);  4) \(h = 35~\text{мм}\);  5) \(T_3 = 300~\text{К}\), воздух стал теплее и суше.

    Решение

    1. Температура \(T_1\), при которой образуется нижняя граница облаков: \[T_1 = T_0\cdot\left(\frac{p_1}{p_0}\right)^{1 - \frac{1}{\chi}} = 279~\text{К}. \qquad (1)\]

    2. Высота \(h_1\) нижней границы облаков: \[p_0 - p_1 = \frac{\rho_0 + \rho_1}{2}\cdot g\cdot h_1, \quad\text{где}\quad \rho_1 = \rho_0\cdot\frac{p_1}{p_0}\cdot\frac{T_0}{T_1},\] \[h_1 = 1410~\text{м}. \qquad (2)\]

    3. Температура \(T_2\) на гребне хребта.

    Изменение температуры при подъёме воздуха от нижней границы облаков до гребня хребта обусловлено двумя процессами:

    — адиабатическим охлаждением до температуры \(T_x\),

    — нагревом на \(\Delta T\) за счёт конденсации. \[T_2 = T_x + \Delta T, \qquad (3)\] \[T_x = T_1\cdot\left(\frac{p_2}{p_1}\right)^{1 - \frac{1}{\chi}} = 265~\text{К}. \qquad (4)\] На каждый килограмм воздуха при конденсации выделяется теплота \(L_v\cdot 2{,}45~\text{г} = 6{,}125~\text{кДж}\). \[\Delta T = \frac{6{,}125}{c_p}\cdot\frac{\text{кДж}}{\text{кг}} = 6{,}1~\text{К}, \qquad (5)\] \[T_2 = 271~\text{К}. \qquad (6)\]

    4. Высота столба выпавшей воды \[h = 35~\text{мм}. \qquad (7)\]

    5. Температура \(T_3\) за хребтом \[T_3 = T_2\cdot\left(\frac{p_3}{p_2}\right)^{1 - \frac{1}{\chi}} = 300~\text{К}. \qquad (8)\] Воздух стал теплее и суше. Повышение температуры вызвано конденсацией пара.

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх