Гантель в магнитном поле

Осевая компонента поля создаёт силы вдоль стержня, которые не влияют на движение. Радиальная компонента даёт силу Лоренца, перпендикулярную скорости шариков; её работа равна нулю, значит, кинетическая энергия сохраняется.

Силы, связанные с осевой проекцией магнитного поля, направлены вдоль стержня, равны по величине и противоположно направлены и не сказываются на движении гантели.

В начальный момент силы, связанные с радиальной проекцией магнитного поля, оказываются тангенциальными, то есть перпендикулярными оси и радиальному направлению. Это приводит к росту угловой скорости вращения вокруг оси симметрии, но при этом нет сил, смещающих центр гантели поперёк оси или вызывающих поворот плоскости вращения. При скорости \(\upsilon\) шариков вдоль оси и окружной скорости \(u\) возникающие из-за радиальной проекции поля \(B_r\) силы перпендикулярны скорости шариков и имеют осевую составляющую \(F_x = -quB_r\) и тангенциальную (окружную) \(F_\tau = q\upsilon B_r\). Соответственно \[m\frac{d\upsilon}{dt} = -quB_r, \qquad m\frac{du}{dt} = q\upsilon B_r.\] Пока \(\upsilon\) не уменьшится до нуля, окружная и угловая скорости растут. Поскольку работа магнитной силы равна нулю, кинетическая энергия остаётся неизменной и максимальная окружная скорость \(u_{\max} = \upsilon_0\).

При смещении центра гантели на \(x\) от начальной точки \(m\dfrac{du}{dt} = q\upsilon B_r = qB_r\dfrac{dx}{dt}\), откуда \(mu = qB_r x\). Для максимального смещения \(mu_{\max} = qB_r L_{\max}\), значит, \[L_{\max} = \frac{m\upsilon_0}{qB_r}.\] Подставляя \(u = \dfrac{qB_r x}{m}\) в уравнение \(m\dfrac{d\upsilon}{dt} = -quB_r\), получим уравнение гармонических колебаний \[\frac{d\upsilon}{dt} = \frac{d^2x}{dt^2} = -\left(\frac{qB_r}{m}\right)^2 x\] с круговой частотой \(\omega = \dfrac{qB_r}{m}\) и периодом \(T = \dfrac{2\pi m}{qB_r}\). Первый раз максимальная скорость вращения достигается через четверть периода: \(t_1 = \dfrac{\pi m}{2qB_r}\). Далее максимум скорости вращения достигается через каждые полпериода, то есть \[t_n = \frac{\pi m}{2qB_r}\,(2n-1), \qquad n = 1, 2, 3, \dots\]