Две круглые непроводящие пластины радиуса \(R\) располагаются параллельно на малом расстоянии \(d\) (\(d \ll R\)) друг от друга, образуя плоский конденсатор. Пластины заряжены равномерно с поверхностными плотностями заряда \(+\sigma\) и \(-\sigma\). Точки \(O_1\) и \(O_2\) — центры пластин. Точки \(A\) и \(B\) находятся на краях пластин. Отрезки \(O_1O_2\) и \(AB\) перпендикулярны плоскостям пластин. Найдите разности потенциалов между парами точек: 1) \(O_1\) и \(O_2\); 2) \(A\) и \(B\); 3) \(O_1\) и \(A\).

1) \(\varphi_{O_1} - \varphi_{O_2} = \dfrac{\sigma d}{\varepsilon_0}\); 2) \(\varphi_A - \varphi_B = \dfrac{\sigma d}{2\varepsilon_0}\); 3) \(\varphi_{O_1} - \varphi_A = \dfrac{\sigma d}{4\varepsilon_0}\).

Плоский конденсатор — ВсОШ 2021/22, 11 кл., задача 3

Плоский конденсатор
ВсОШ 2021/22, 11 кл.
6/10
Две круглые непроводящие пластины радиуса \(R\) располагаются параллельно на малом расстоянии \(d\) (\(d \ll R\)) друг от друга, образуя плоский конденсатор. Пластины заряжены равномерно с поверхностными плотностями заряда \(+\sigma\) и \(-\sigma\). Точки \(O_1\) и \(O_2\) — центры пластин. Точки \(A\) и \(B\) находятся на краях пластин. Отрезки \(O_1O_2\) и \(AB\) перпендикулярны плоскостям пластин. Найдите разности потенциалов между парами точек: 1) \(O_1\) и \(O_2\); 2) \(A\) и \(B\); 3) \(O_1\) и \(A\).

▶Показать разборСкрыть разбор
Подсказка
Между центрами пластин поле такое же, как между бесконечными плоскостями. У края пластин поле уменьшается вдвое, если считать пластины полуплоскостями. Используйте потенциальность электрического поля: сумма разностей потенциалов по замкнутому контуру равна нулю.
Ответ
1) \(\varphi_{O_1} - \varphi_{O_2} = \dfrac{\sigma d}{\varepsilon_0}\); 2) \(\varphi_A - \varphi_B = \dfrac{\sigma d}{2\varepsilon_0}\); 3) \(\varphi_{O_1} - \varphi_A = \dfrac{\sigma d}{4\varepsilon_0}\).
Решение
1. Напряжённость поля в зазоре между центрами пластин соответствует напряжённости между двумя бесконечными плоскостями \(E_1 = \dfrac{\sigma}{\varepsilon_0}\). Тогда разность потенциалов между центрами пластин \(\varphi_{O_1} - \varphi_{O_2} = \dfrac{\sigma d}{\varepsilon_0}\).

2. Рассмотрим поле \(E_2\) в зазоре на границе пластин. Так как зазор мал, пластины можно считать полуплоскостями. Для нахождения поля мысленно добавим ещё две полуплоскости, которые создают такую же нормальную компоненту поля, а суммарная напряжённость от всех четырёх полуплоскостей равна \(E_1\). Таким образом, нормальная компонента напряжённости поля двух полуплоскостей равна половине \(E_1\), или \(E_{2n} = \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}\). Это рассуждение применимо к любой точке отрезка \(AB\), поэтому разность потенциалов между краями пластин \[\varphi_A - \varphi_B = \frac{\sigma d}{2\varepsilon_0}.\]

3. Из потенциальности электрического поля следует \(\varphi_{O_1} - \varphi_A = (\varphi_B - \varphi_A) + (\varphi_{O_2} - \varphi_B) + (\varphi_{O_1} - \varphi_{O_2})\). Из соображений симметрии \(\varphi_{O_1} - \varphi_A = \varphi_B - \varphi_{O_2}\). Комбинируя эти выражения, получаем \[\varphi_{O_1} - \varphi_A = \frac{1}{2}\left[(\varphi_{O_1} - \varphi_{O_2}) - (\varphi_A - \varphi_B)\right] = \frac{\sigma d}{4\varepsilon_0}.\]
Вся олимпиада на сайте
в вариантСтраница задачи Ошибка в задаче?

Плоский конденсатор

Плоский конденсатор

Похожие задачи