Треугольник и плёнка

В положении равновесия энергия плёнки минимальна, то есть минимальна её площадь. Какой треугольник \(OAB\) имеет максимальную площадь при заданных сторонах?

Способ 1 (энергетика).

1) В состоянии равновесия энергия системы минимальна. Энергия системы — это энергия натянутой плёнки, пропорциональная её площади: с учётом двусторонней плёнки \(E_{\text{пл}} = 2\sigma S_{\text{пл}}\). Минимум энергии отвечает положению стержней, в котором максимальна площадь треугольника \(OAB\). Её удобно вычислять по двум сторонам \(OA\) и \(AB\) и углу \(\varphi\) между ними: \[S_{OAB} = \frac{1}{2}\,L\cdot 2L\sin\varphi = L^2\sin\varphi.\] Эта площадь максимальна при \(\varphi = \dfrac{\pi}{2}\), то есть когда стержни перпендикулярны. Тогда в прямоугольном треугольнике \(OAB\) \(\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{1}{2}\). Итак, в состоянии равновесия \(\alpha = \operatorname{arctg}\dfrac{1}{2} = \arcsin\dfrac{1}{\sqrt{5}} \approx 26{,}6^\circ\).

2) Потенциальную энергию можно отсчитывать с точностью до константы, поэтому энергия системы в положении равновесия равна нулю. Пусть колечко сдвинулось вдоль стержня на \(x\) от положения равновесия. Тогда \[E(x) = 2\sigma\left[L^2 - S_{OAB}(x)\right] = 2\sigma L^2\bigl(1 - \sin\varphi(x)\bigr).\] Длина стороны \(OB\) в этом положении \(|OB| = L\sqrt{5} + x\), и по теореме косинусов \[(L\sqrt{5} + x)^2 = L^2 + 4L^2 - 4L^2\cos\varphi(x) \quad\Rightarrow\quad \cos\varphi(x) \approx -\frac{\sqrt{5}}{2L}\,x,\] где мы пренебрегли слагаемым порядка \(x^2/L^2\) (колебания малые). В том же приближении \(\sin\varphi(x) \approx 1 - \dfrac{5x^2}{8L^2}\), значит, \[E(x) \approx \frac{5\sigma x^2}{4} = \frac{k x^2}{2}, \qquad k = \frac{5\sigma}{2}.\] Это в точности выражение для груза на пружине жёсткостью \(k\). Малые колебания колечка гармонические с периодом \[T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} = 2\pi\sqrt{\frac{2m}{5\sigma}}.\]

Способ 2 (статика и динамика) даёт тот же результат. Из условий равновесия стержней находим, что в равновесии \(\operatorname{tg}\beta = 2\), где \(\beta\) — угол треугольника \(OAB\) при вершине \(B\), и \(\sin\alpha = \dfrac{1}{2}\sin\beta = \dfrac{1}{\sqrt{5}}\). При смещении колечка уравнение движения приводится к виду \(m\ddot{x} \approx -\dfrac{5}{2}\sigma x\), то есть \(\omega = \sqrt{\dfrac{5\sigma}{2m}}\) и \(T = 2\pi\sqrt{\dfrac{2m}{5\sigma}}\).